Encontre as velocidades, funções horárias e alcance para um projétil viajando em duas dimensões
e y e que está sujeito a uma força
-bmv vertical, em que
(ângulo
), em
. Expandir a função velocidade e função horária em série de potência até o terceiro termo.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um projétil que está se movimentando em duas dimensões, nos eixos
e
. Ele está sujeito a uma força de resistência do ar que é proporcional à velocidade, dada por
, onde
é uma constante,
é a massa do projétil, e
é a velocidade inicial com um ângulo
. O objetivo é encontrar as velocidades, as funções de posição (horárias) e o alcance do projétil, expandindo essas funções em uma série de potências até o terceiro termo. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as leis de movimento com resistência do ar e usar séries de Taylor para a expansão.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial
nos componentes
e
. Usamos trigonometria básica para isso:
Isso nos dá as velocidades iniciais nas direções horizontal e vertical.
Passo 3
Agora, vamos considerar as forças atuando no projétil. Na direção
, a única força é a resistência do ar:
Usando a segunda lei de Newton
, temos:
Essa é uma equação diferencial simples que descreve a decaída da velocidade horizontal com o tempo.
Passo 4
Resolvendo a equação diferencial para
, obtemos:
Isso é a expansão em série de potência até o segundo termo. Podemos adicionar mais um termo para chegar ao terceiro:
Passo 5
Fazendo o mesmo para a direção
, consideramos a força da gravidade além da resistência do ar:
A segunda lei de Newton nos dá:
Essa equação também é resolvida por métodos de séries de potência.
Passo 6
Resolvendo a equação diferencial para
:
Essa é a expansão da velocidade vertical até o terceiro termo.
Passo 7
Agora, para encontrar as funções horárias
e
, integramos as velocidades em relação ao tempo. Para
:
Passo 8
E para
:
Passo 9
Finalmente, para encontrar o alcance
, consideramos o tempo de voo até o projétil retornar ao solo (
). Isso envolve resolver a equação de
para
e substituir em
. Após os cálculos, obtemos:
Resposta
As velocidades e funções horárias expandidas em série de potência até o terceiro termo são:
Exercícios relacionados
Uma equação dimensionalmente correta garante que ela também seja algebricamente correta? Explique.
Encontre as velocidades, funções horárias e alcance para um projétil viajando em duas dimensões x e y e que está sujeito a uma força peso, sem considerar em que
(ângulo
), em
. Expandir a função velocidade e função horária em série de potência até o terceiro termo.
Se uma equação estiver dimensionalmente errada, ela também é garantidamente falsa?
Encontre a função velocidade e função horária para um veículo em movimento horizontal que está sujeito a uma força
, em que
, em
. Expandir a função velocidade e função horária em série de potência até o terceiro termo.