Encontre as velocidades, funções horárias e alcance para um projétil viajando em duas dimensões e y e que está sujeito a uma força -bmv vertical, em que (ângulo ), em . Expandir a função velocidade e função horária em série de potência até o terceiro termo.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um projétil que está se movimentando em duas dimensões, nos eixos e . Ele está sujeito a uma força de resistência do ar que é proporcional à velocidade, dada por , onde é uma constante, é a massa do projétil, e é a velocidade inicial com um ângulo . O objetivo é encontrar as velocidades, as funções de posição (horárias) e o alcance do projétil, expandindo essas funções em uma série de potências até o terceiro termo. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as leis de movimento com resistência do ar e usar séries de Taylor para a expansão.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nos componentes e . Usamos trigonometria básica para isso:
Isso nos dá as velocidades iniciais nas direções horizontal e vertical.

Passo 3

Agora, vamos considerar as forças atuando no projétil. Na direção , a única força é a resistência do ar:
Usando a segunda lei de Newton , temos:
Essa é uma equação diferencial simples que descreve a decaída da velocidade horizontal com o tempo.

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial para , obtemos:
Isso é a expansão em série de potência até o segundo termo. Podemos adicionar mais um termo para chegar ao terceiro:

Passo 5

Fazendo o mesmo para a direção , consideramos a força da gravidade além da resistência do ar:
A segunda lei de Newton nos dá:
Essa equação também é resolvida por métodos de séries de potência.

Passo 6

Resolvendo a equação diferencial para :
Essa é a expansão da velocidade vertical até o terceiro termo.

Passo 7

Agora, para encontrar as funções horárias e , integramos as velocidades em relação ao tempo. Para :

Passo 8

E para :

Passo 9

Finalmente, para encontrar o alcance , consideramos o tempo de voo até o projétil retornar ao solo ( ). Isso envolve resolver a equação de para e substituir em . Após os cálculos, obtemos:

Resposta

As velocidades e funções horárias expandidas em série de potência até o terceiro termo são:

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Encontre as velocidades, funções horárias e alcance para um projétil viajando em duas dimensões x e y e que está sujeito a uma força peso, sem considerar em que (ângulo ), em . Expandir a função velocidade e função horária em série de potência até o terceiro termo.
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