Encontre as velocidades, funções horárias e alcance para um projétil viajando em duas dimensões x e y e que está sujeito a uma força F(v)=-bmv vertical, em que v=v0 (ângulo phi ), em t=0. Expandir a função velocidade e função horária em série de potência até o terceiro termo.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um projétil que está se movimentando em duas dimensões, nos eixos e . Ele está sujeito a uma força de resistência do ar que é proporcional à velocidade, dada por , onde é uma constante, é a massa do projétil, e é a velocidade inicial com um ângulo . O objetivo é encontrar as velocidades, as funções de posição (horárias) e o alcance do projétil, expandindo essas funções em uma série de potências até o terceiro termo. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as leis de movimento com resistência do ar e usar séries de Taylor para a expansão.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial v0x = v0 cos(phi) nos componentes v0y = v0 sin(phi) e . Usamos trigonometria básica para isso:
Isso nos dá as velocidades iniciais nas direções horizontal e vertical.

Passo 3

Agora, vamos considerar as forças atuando no projétil. Na direção Fx = -b m vx , a única força é a resistência do ar:
m dvxdt = -b m vx implies dvxdt = -b vx
Usando a segunda lei de Newton , temos:
Essa é uma equação diferencial simples que descreve a decaída da velocidade horizontal com o tempo.

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial para vx(t) = v0x (1 - b t + (b t)^22 ) , obtemos:
vx(t) approx v0x (1 - b t + (b t)^22 - (b t)^36 )
Isso é a expansão em série de potência até o segundo termo. Podemos adicionar mais um termo para chegar ao terceiro:

Passo 5

Fazendo o mesmo para a direção Fy = -b m vy - m g , consideramos a força da gravidade além da resistência do ar:
m dvydt = -b m vy - m g implies dvydt = -b vy - g
A segunda lei de Newton nos dá:
Essa equação também é resolvida por métodos de séries de potência.

Passo 6

Resolvendo a equação diferencial para vy(t) approx v0y (1 - b t + (b t)^22 - (b t)^36 ) - g t (1 - b t + (b t)^22 ) :
Essa é a expansão da velocidade vertical até o terceiro termo.

Passo 7

Agora, para encontrar as funções horárias x(t) approx v0x (t - b t^22 + (b t)^36 ) e , integramos as velocidades em relação ao tempo. Para :

Passo 8

E para y(t) approx v0y (t - b t^22 + (b t)^36 ) - g t^22 (1 - b t + (b t)^22 ) :

Passo 9

Finalmente, para encontrar o alcance R approx v0^2 sin(2phi)g (1 - b v0g + (b v0)^2g^2 ) , consideramos o tempo de voo até o projétil retornar ao solo ( ). Isso envolve resolver a equação de para e substituir em . Após os cálculos, obtemos:

Resposta

As velocidades e funções horárias expandidas em série de potência até o terceiro termo são:
vx(t) approx v0 cos(phi) (1 - b t + (b t)^22 - (b t)^36 )
vy(t) approx v0 sin(phi) (1 - b t + (b t)^22 - (b t)^36 ) - g t (1 - b t + (b t)^22 )
x(t) approx v0 cos(phi) (t - b t^22 + (b t)^36 )
y(t) approx v0 sin(phi) (t - b t^22 + (b t)^36 ) - g t^22 (1 - b t + (b t)^22 )
R approx v0^2 sin(2phi)g (1 - b v0g + (b v0)^2g^2 )

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