Encontre um vetor perpendicular ao vetor V=(3,4,5) e que tenha módulo igual a 2?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um vetor que seja perpendicular ao vetor V = (3, 4, 5) e que tenha um módulo (ou comprimento) igual a 2. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e a normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, se temos um vetor W = (a, b, c) que queremos perpendicular à V = (3, 4, 5), precisamos que:
V cdot W = 3a + 4b + 5c = 0

Passo 3

Agora, nossa missão é encontrar valores para a, b e c que satisfaçam essa equação. Para facilitar, vamos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira. Vamos, por exemplo, definir a = 1 e b = 0.

Passo 4

Substituindo a = 1 e b = 0 na equação 3a + 4b + 5c = 0, temos:
3(1) + 4(0) + 5c = 0 3 + 0 + 5c = 0 5c = -3 c = -35
Então, um vetor que é perpendicular a V é W = (1, 0, -35).

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor para ver quanto ele mede. O módulo de um vetor W = (a, b, c) é dado por:
|W| = raiza^2 + b^2 + c^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
|W| = raiz1^2 + 0^2 + (-35)^2 = raiz1 + 0 + 925 = raiz3425 = raiz345

Passo 6

Queremos que o vetor tenha módulo igual a 2. Para isso, vamos normalizar o vetor e depois multiplicá-lo pelo valor que ajusta o módulo desejado. A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu módulo:
Wnormalizado = W|W| = (1raiz345, 0raiz345, -35raiz345) = (5raiz34, 0, -3raiz34)
Agora, multiplicamos por 2 para ajustar o módulo:
Wfinal = 2 times Wnormalizado = (10raiz34, 0, -6raiz34)

Resposta

Um vetor perpendicular a V = (3, 4, 5) com módulo igual a 2 é:
W = (10raiz34,; 0,; -6raiz34)

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