De acordo com as seguintes afirmações marque verdadeiro ou falso.
Se um subconjunto S=v1, v2 de um espaço vetorial é linearmente independente e v3 não pertence ao subespaço gerado por S, então o subconjunto T=v1, v2, v3 pode ser linearmente dependente ou independente.

Passo 1

Então, você tem um exercício sobre espaços vetoriais e independência linear. A questão diz que se um conjunto de vetores é linearmente independente e um terceiro vetor não está no espaço gerado por , queremos saber se o novo conjunto pode ser linearmente dependente ou independente. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, nenhum vetor no conjunto pode ser escrito como uma combinação dos outros.

Passo 3

Sabemos que é linearmente independente. Isso significa que e não podem ser escritos um em termos do outro. Eles trazem novas direções no espaço vetorial.

Passo 4

Agora, o exercício diz que não pertence ao subespaço gerado por . Isso significa que não pode ser escrito como uma combinação de e . Ou seja, adiciona uma nova direção que não estava presente em .

Passo 5

Quando adicionamos um vetor que não está no subespaço gerado pelo conjunto anterior, estamos garantindo que o novo vetor não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores existentes. Portanto, o conjunto mantém a independência linear.

Passo 6

Se pudesse ser linearmente dependente, isso significaria que pelo menos um dos vetores poderia ser escrito como uma combinação dos outros. Mas isso não é possível aqui, já que não está no subespaço de . Assim, não pode ser dependente; só pode ser independente.

Resposta

Falso. O subconjunto é sempre linearmente independente sob as condições dadas.

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