Se um subconjunto S=v1, v2, v3 de um espaço vetorial V é linearmente independente, então o subconjunto T=v1+v2+v3, v2+v3, v3 de V também o é.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um conjunto de três vetores, , que é linearmente independente em um espaço vetorial . A questão quer saber se, a partir desses vetores, formando um novo conjunto , esse novo conjunto também será linearmente independente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa linearmente independente e como provar isso usando combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se temos , então necessariamente .

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse conceito ao conjunto b1(v1 + v2 + v3) + b2(v2 + v3) + b3v3 = 0 . Precisamos verificar se a única combinação linear desses vetores que resulta no zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, vamos supor que:

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes dentro dos parênteses:
b1v1 + b1v2 + b1v3 + b2v2 + b2v3 + b3v3 = 0

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
b1v1 + (b1 + b2)v2 + (b1 + b2 + b3)v3 = 0

Passo 6

Como o conjunto é linearmente independente, sabemos que os coeficientes que satisfazem essa combinação linear igual a zero são , e .

Passo 7

Resolvendo essas equações:
  1. De ,
  2. Substituindo na segunda equação: ou seja, ,
  3. Substituindo em terceira: ou seja, .

Passo 8

Como a única solução é , isso prova que o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O subconjunto é linearmente independente.

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(b) 3 D-2 A
Em cada um dos itens a seguir ache a matriz A=(ai j) de ordem 4 times 4 que satisfaz a condição dada:
(f) ai j=l1 se 6 <= i+j <= 8 0 nos outros casos
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