Se um subconjunto de um espaço vetorial é linearmente independente, então o subconjunto de também o é.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um conjunto de três vetores, , que é linearmente independente em um espaço vetorial . A questão quer saber se, a partir desses vetores, formando um novo conjunto , esse novo conjunto também será linearmente independente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa linearmente independente e como provar isso usando combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se temos , então necessariamente .
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse conceito ao conjunto . Precisamos verificar se a única combinação linear desses vetores que resulta no zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, vamos supor que:
Passo 4
Vamos distribuir os coeficientes dentro dos parênteses:
Passo 5
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 6
Como o conjunto é linearmente independente, sabemos que os coeficientes que satisfazem essa combinação linear igual a zero são , e .
Passo 7
Resolvendo essas equações:
De ,
Substituindo na segunda equação: ou seja, ,
Substituindo em terceira: ou seja, .
Passo 8
Como a única solução é , isso prova que o conjunto é linearmente independente.