Encontre o volume do sollido obtido pela rotaçảo da regiáo limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou aruela típicos.
em torno do eixo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o volume do sólido que surge quando a região limitada pelas curvas , , e é rodada em torno do eixo . Isso envolve cálculo de volumes por rotação, utilizando um pouco de cálculo integral. Vamos precisar entender como aplicar o método dos discos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos rotacionando. As curvas dadas são , , e . Vamos esboçar isso pra visualizar melhor.

Passo 3

A função é igual a . Sabemos que tem valores definidos para entre e , mas como estamos limitando entre -1 e 1, vamos considerar apenas esse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos identificar a área que estamos girando. Entre e , a curva está acima de porque nesse intervalo. Então, a região limitada é entre essas duas curvas, de a .

Passo 5

Para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação dessa região em torno do eixo , vamos usar o método dos discos. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, é a função de maior valor (no nosso caso, ) e é a função de menor valor (que é ).

Passo 6

Vamos substituir na fórmula:
Isso simplifica para:

Passo 7

Agora, precisamos integrar essa expressão. Sabemos que a integral de é e a integral de 1 é . Então:

Passo 8

Vamos calcular os limites de integração de -1 a 1:
Sabemos que , então isso fica:

Passo 9

Finalmente, multiplicamos pelo :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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