Encontre o volume do sollido obtido pela rotaçảo da regiáo limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou aruela típicos.
em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o volume do sólido que surge quando a região limitada pelas curvas
,
,
e
é rodada em torno do eixo
. Isso envolve cálculo de volumes por rotação, utilizando um pouco de cálculo integral. Vamos precisar entender como aplicar o método dos discos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos rotacionando. As curvas dadas são
,
,
e
. Vamos esboçar isso pra visualizar melhor.
Passo 3
A função
é igual a
. Sabemos que
tem valores definidos para
entre
e
, mas como estamos limitando
entre -1 e 1, vamos considerar apenas esse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos identificar a área que estamos girando. Entre
e
, a curva
está acima de
porque
nesse intervalo. Então, a região limitada é entre essas duas curvas, de
a
.
Passo 5
Para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação dessa região em torno do eixo
, vamos usar o método dos discos. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui,
é a função de maior valor (no nosso caso,
) e
é a função de menor valor (que é
).
Passo 6
Vamos substituir na fórmula:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, precisamos integrar essa expressão. Sabemos que a integral de
é
e a integral de 1 é
. Então:
Passo 8
Vamos calcular os limites de integração de -1 a 1:
Sabemos que
, então isso fica:
Passo 9
Finalmente, multiplicamos pelo
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Figura 1: Exercicio a
Figura 2: Exercício b
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