Encontre o zero da função usando o método da bisseção, a partir do intervalo inicial I. Use bn-an, para critério de parada.
f(x)=x^3+3 x-2, I=[0,1], varepsilon=10^-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o zero da função usando o método da bisseção no intervalo inicial e parar quando a diferença entre os extremos do intervalo for menor que . A gente vai precisar entender como funciona o método da bisseção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções contínuas dividindo repetidamente o intervalo pela metade.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função realmente muda de sinal no intervalo . Isso é importante porque o método da bisseção só funciona se e tiverem sinais opostos, garantindo que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Calculando:
Como e , temos que é negativo e é positivo. Então, existe pelo menos uma raiz entre 0 e 1.

Passo 3

Agora, vamos começar o processo de bisseção. A ideia é dividir o intervalo atual pela metade e ver em qual subintervalo a função muda de sinal.
Primeiro, calculamos o ponto médio:
m = a + b2 = 0 + 12 = 0,5
Agora, calculamos f(0,5) = (0,5)^3 + 3(0,5) - 2 = 0,125 + 1,5 - 2 = -0,375 :
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 0,5 e 1. Então, atualizamos o intervalo para .

Passo 4

Continuamos o processo com o novo intervalo m = 0,5 + 12 = 0,75 .
Calculamos o ponto médio:
f(0,75) = (0,75)^3 + 3(0,75) - 2 = 0,421875 + 2,25 - 2 = 0,671875
Calculamos :
Agora, é positivo e é negativo, então a raiz está entre 0,5 e 0,75. Atualizamos o intervalo para .

Passo 5

Repetimos o processo com o intervalo m = 0,5 + 0,752 = 0,625 .
Calculamos o ponto médio:
f(0,625) = (0,625)^3 + 3(0,625) - 2 = 0,244140625 + 1,875 - 2 = 0,119140625
Calculamos :
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 0,5 e 0,625. Atualizamos o intervalo para .

Passo 6

Continuando com o intervalo m = 0,5 + 0,6252 = 0,5625 .
Calculamos o ponto m��dio:
f(0,5625) = (0,5625)^3 + 3(0,5625) - 2 = 0,177978515625 + 1,6875 - 2 = -0,134521484375
Calculamos :
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 0,5625 e 0,625. Atualizamos o intervalo para .

Passo 7

Vamos para o intervalo m = 0,5625 + 0,6252 = 0,59375 .
Calculamos o ponto médio:
f(0,59375) = (0,59375)^3 + 3(0,59375) - 2 approx 0,2099609375 + 1,78125 - 2 = -0,0087890625
Calculamos :
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 0,59375 e 0,625. Atualizamos o intervalo para .

Passo 8

Agora, com o intervalo m = 0,59375 + 0,6252 = 0,609375 .
Calculamos o ponto médio:
f(0,609375) = (0,609375)^3 + 3(0,609375) - 2 approx 0,22613525390625 + 1,828125 - 2 = 0,05426025390625
Calculamos :
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 0,59375 e 0,609375. Atualizamos o intervalo para .

Passo 9

Continuando com o intervalo m = 0,59375 + 0,6093752 = 0,6015625 .
Calculamos o ponto médio:
f(0,6015625) = (0,6015625)^3 + 3(0,6015625) - 2 approx 0,217041015625 + 1,8046875 - 2 = 0,021728515625
Calculamos :
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 0,59375 e 0,6015625. Atualizamos o intervalo para .

Passo 10

Agora, com o intervalo m = 0,59375 + 0,60156252 = 0,59765625 .
Calculamos o ponto médio:
f(0,59765625) = (0,59765625)^3 + 3(0,59765625) - 2 approx 0,2122640609741211 + 1,79296875 - 2 = 0,005232810974121094
Calculamos :
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 0,59375 e 0,59765625. Atualizamos o intervalo para .

Passo 11

Continuando com o intervalo m = 0,59375 + 0,597656252 = 0,595703125 .
Calculamos o ponto médio:
f(0,595703125) = (0,595703125)^3 + 3(0,595703125) - 2 approx 0,21106624507904053 + 1,787109375 - 2 = -0,0018243799209594727
Calculamos :
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 0,595703125 e 0,59765625. Atualizamos o intervalo para .

Passo 12

Agora, com o intervalo m = 0,595703125 + 0,597656252 = 0,5966796875 .
Calculamos o ponto médio:
f(0,5966796875) = (0,5966796875)^3 + 3(0,5966796875) - 2 approx 0,21190261840820312 + 1,7900390625 - 2 = 0,001941680908203125
Calculamos :
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 0,595703125 e 0,5966796875. Atualizamos o intervalo para .

Passo 13

Continuando com o intervalo m = 0,595703125 + 0,59667968752 = 0,59619140625 .
Calculamos o ponto médio:
f(0,59619140625) = (0,59619140625)^3 + 3(0,59619140625) - 2 approx 0,21148204803466797 + 1,78857421875 - 2 = 0,000056266784667969
Calculamos :
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 0,595703125 e 0,59619140625. Atualizamos o intervalo para .

Passo 14

Agora, verificamos se a diferença entre bn - an = 0,59619140625 - 0,595703125 = 0,00048828125 e m = 0,595703125 + 0,596191406252 = 0,595947265625 é menor que f(0,595947265625) = (0,595947265625)^3 + 3(0,595947265625) - 2 approx 0,21127478790283203 + 1,787841796875 - 2 = -0,0008834152221679688 .
Calculando:
Como , precisamos continuar.
Calculamos o ponto médio:
Calculamos :
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 0,595947265625 e 0,59619140625. Atualizamos o intervalo para .

Passo 15

Verificamos novamente a diferença:
bn - an = 0,59619140625 - 0,595947265625 = 0,000244140625
Como m = 0,595947265625 + 0,596191406252 = 0,5960693359375 , continuamos.
Calculamos o ponto médio:
f(0,5960693359375) = (0,5960693359375)^3 + 3(0,5960693359375) - 2 approx 0,21118330955410004 + 1,7882080078125 - 2 = -0,000608673095703125
Calculamos :
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 0,5960693359375 e 0,59619140625. Atualizamos o intervalo para .

Passo 16

Agora, a diferença é:
bn - an = 0,59619140625 - 0,5960693359375 = 0,0001220703125
Ainda m = 0,5960693359375 + 0,596191406252 = 0,59613037109375 , então continuamos.
Calculamos o ponto médio:
f(0,59613037109375) = (0,59613037109375)^3 + 3(0,59613037109375) - 2 approx 0,21121746397018433 + 1,78839111328125 - 2 = -0,00039142274856567383
Calculamos :
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 0,59613037109375 e 0,59619140625. Atualizamos o intervalo para .

Passo 17

Verificamos a diferença:
bn - an = 0,59619140625 - 0,59613037109375 = 0,00006103515625
Agora, , então atingimos o critério de parada.

Resposta

A raiz aproximada da função no intervalo usando o método da bisseção com é .

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