Encontre o zero da função usando o método da bisseção, a partir do intervalo inicial
. Use
, para critério de parada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o zero da função
usando o método da bisseção no intervalo inicial
e parar quando a diferença entre os extremos do intervalo for menor que
. A gente vai precisar entender como funciona o método da bisseção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções contínuas dividindo repetidamente o intervalo pela metade.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função realmente muda de sinal no intervalo
. Isso é importante porque o método da bisseção só funciona se
e
tiverem sinais opostos, garantindo que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Calculando:
Como
e
, temos que
é negativo e
é positivo. Então, existe pelo menos uma raiz entre 0 e 1.
Passo 3
Agora, vamos começar o processo de bisseção. A ideia é dividir o intervalo atual pela metade e ver em qual subintervalo a função muda de sinal.
Primeiro, calculamos o ponto médio:
Agora, calculamos
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está entre 0,5 e 1. Então, atualizamos o intervalo para
.
Passo 4
Continuamos o processo com o novo intervalo
.
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Agora,
é positivo e
é negativo, então a raiz está entre 0,5 e 0,75. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 5
Repetimos o processo com o intervalo
.
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está entre 0,5 e 0,625. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 6
Continuando com o intervalo
.
Calculamos o ponto m��dio:
Calculamos
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está entre 0,5625 e 0,625. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 7
Vamos para o intervalo
.
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está entre 0,59375 e 0,625. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 8
Agora, com o intervalo
.
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está entre 0,59375 e 0,609375. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 9
Continuando com o intervalo
.
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está entre 0,59375 e 0,6015625. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 10
Agora, com o intervalo
.
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está entre 0,59375 e 0,59765625. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 11
Continuando com o intervalo
.
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está entre 0,595703125 e 0,59765625. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 12
Agora, com o intervalo
.
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está entre 0,595703125 e 0,5966796875. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 13
Continuando com o intervalo
.
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está entre 0,595703125 e 0,59619140625. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 14
Agora, verificamos se a diferença entre
e
é menor que
.
Calculando:
Como
, precisamos continuar.
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está entre 0,595947265625 e 0,59619140625. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 15
Verificamos novamente a diferença:
Como
, continuamos.
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está entre 0,5960693359375 e 0,59619140625. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 16
Agora, a diferença é:
Ainda
, então continuamos.
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está entre 0,59613037109375 e 0,59619140625. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 17
Verificamos a diferença:
Agora,
, então atingimos o critério de parada.
Resposta
A raiz aproximada da função
no intervalo
usando o método da bisseção com
é
.