(ENEM) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função
T(t)=l 75 t+20, para 0 <= t<100 2125 t^2-165 t+320, para t >= 100
Em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48^circ C e retirada quando a temperatura for 200^circ C.
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a:
a) 100
b) 108
c) 128
d) 130
e) 150

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que descreve como a temperatura do forno varia com o tempo. Precisamos descobrir quanto tempo uma peça ficará dentro do forno: ela entra quando a temperatura chega a 48°C e sai quando atinge 200°C. Para resolver isso, vamos precisar resolver equações matemáticas que nos darão os momentos exatos em que essas temperaturas são alcançadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar em que momento a temperatura do forno atinge 48°C. Observamos que para tempos entre 0 e 100 minutos (0 ≤ t < 100), a função que descreve a temperatura é:
T(t) = 75 t + 20
Vamos igualar essa função a 48°C e resolver para t:
75 t + 20 = 48

Passo 3

Vamos resolver a equação para encontrar t:
75 t + 20 = 48 75 t = 48 - 20 75 t = 28 t = 28 times 57 t = 20 minutos
Então, a peça deve ser colocada no forno aos 20 minutos.

Passo 4

Agora, precisamos descobrir em que momento a temperatura atinge 200°C. Para tempos a partir de 100 minutos (t ≥ 100), a função que descreve a temperatura é:
T(t) = 2125 t^2 - 165 t + 320
Vamos igualar essa função a 200°C e resolver para t:
2125 t^2 - 165 t + 320 = 200

Passo 5

Resolvendo a equação:
2125 t^2 - 165 t + 320 = 200 2125 t^2 - 165 t + 120 = 0
Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por 125 para eliminar os denominadores:
2 t^2 - 400 t + 15000 = 0

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática:
2 t^2 - 400 t + 15000 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
t^2 - 200 t + 7500 = 0
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
t = 200 pm raiz200^2 - 4 times 1 times 75002 t = 200 pm raiz40000 - 300002 t = 200 pm raiz100002 t = 200 pm 1002

Passo 7

Calculando as duas soluções:
  1. t = 200 + 1002 = 3002 = 150
  2. t = 200 - 1002 = 1002 = 50
Como estamos considerando t ≥ 100, desconsideramos a solução t = 50. Assim, o tempo em que a temperatura atinge 200°C é:
t = 150 minutos

Passo 8

Para encontrar o tempo de permanência da peça no forno, subtraímos o tempo de retirada pelo tempo de colocação:
150 - 20 = 130 minutos

Resposta

A peça permanece no forno por 130 minutos, então a opção correta é a letra d) 130.

Exercícios relacionados