(ENEM) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função
Em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for
e retirada quando a temperatura for
.
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a:
a) 100
b) 108
c) 128
d) 130
e) 150
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a:
a) 100
b) 108
c) 128
d) 130
e) 150
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que descreve como a temperatura do forno varia com o tempo. Precisamos descobrir quanto tempo uma peça ficará dentro do forno: ela entra quando a temperatura chega a 48°C e sai quando atinge 200°C. Para resolver isso, vamos precisar resolver equações matemáticas que nos darão os momentos exatos em que essas temperaturas são alcançadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar em que momento a temperatura do forno atinge 48°C. Observamos que para tempos entre 0 e 100 minutos (0 ≤ t < 100), a função que descreve a temperatura é:
Vamos igualar essa função a 48°C e resolver para t:
Passo 3
Vamos resolver a equação para encontrar t:
Então, a peça deve ser colocada no forno aos 20 minutos.
Passo 4
Agora, precisamos descobrir em que momento a temperatura atinge 200°C. Para tempos a partir de 100 minutos (t ≥ 100), a função que descreve a temperatura é:
Vamos igualar essa função a 200°C e resolver para t:
Passo 5
Resolvendo a equação:
Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por 125 para eliminar os denominadores:
Passo 6
Agora, temos uma equação quadrática:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Passo 7
Calculando as duas soluções:
Como estamos considerando t ≥ 100, desconsideramos a solução t = 50. Assim, o tempo em que a temperatura atinge 200°C é:
Passo 8
Para encontrar o tempo de permanência da peça no forno, subtraímos o tempo de retirada pelo tempo de colocação:
Resposta
A peça permanece no forno por 130 minutos, então a opção correta é a letra d) 130.