Quais transformações sofreu a função
, para obtermos
,
e
. Esboce os gráficos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função básica
e queremos descobrir quais transformações foram aplicadas nela para chegar às funções
,
,
,
,
,
e
. A gente vai precisar entender sobre transformações de funções quadráticas, como dilatações (esticamentos e compressões), translações (movimentos no gráfico) e reflexões. Vamos por partes!
Passo 2
Vamos começar com
. Aqui, a função básica
foi multiplicada por 2. Isso é uma dilatação vertical, que significa que o gráfico da função fica mais “esticado” para cima. Em termos de fórmula, qualquer multiplicação por um número maior que 1 no coeficiente de
faz o gráfico ficar mais “alto”.
Passo 3
Agora, para
, a transformação é semelhante à do
, mas multiplicando por 4. Isso também é uma dilatação vertical, mas dessa vez o esticamento é ainda maior. Quanto maior o coeficiente, mais “alto” fica o gráfico.
Passo 4
Vamos para
. Aqui, a função foi multiplicada por
. Isso é uma compressão vertical, pois o gráfico fica menos “alto” ou mais “achatado”. Quando o coeficiente está entre 0 e 1, a função é comprimida verticalmente.
Passo 5
Em seguida, temos
. Novamente, multiplicamos a função básica por
, que também representa uma compressão vertical, mas maior que a do
. O gráfico fica ainda mais “achatado”.
Passo 6
Vamos analisar
. Aqui, temos duas transformações: primeiro, multiplicamos
por 2, que é uma dilatação vertical como vimos antes. Depois, subtraímos 2, o que significa que o gráfico todo foi transladado 2 unidades para baixo no eixo y.
Passo 7
Agora, para
. Temos três transformações:
- Translação horizontal: dentro do parêntese,
indica que o gráfico foi movido 1 unidade para a direita. - Dilatação vertical: multiplicando por 2, o gráfico ficou mais “esticado” para cima.
- Translação vertical: adicionando 1, o gráfico foi movido 1 unidade para cima.
Passo 8
Por fim, vamos ver
. As transformações são:
- Translação horizontal:
indica que o gráfico foi movido 1 unidade para a esquerda. - Reflexão: o sinal negativo na frente de 2, ou seja, -2, reflete o gráfico em relação ao eixo x.
- Dilatação vertical: multiplicando por 2, o gráfico foi esticado verticalmente.
- Translação vertical: adicionando 2, o gráfico foi movido 2 unidades para cima.
Resposta
As transformações aplicadas à função
para obter as funções
a
são:
-
: Dilatação vertical por fator 2. -
: Dilatação vertical por fator 4. -
: Compressão vertical por fator . -
: Compressão vertical por fator . -
: Dilatação vertical por fator 2 e translação 2 unidades para baixo. -
: Translação 1 unidade para a direita, dilatação vertical por fator 2 e translação 1 unidade para cima. -
: Translação 1 unidade para a esquerda, reflexão em relação ao eixo x, dilatação vertical por fator 2 e translação 2 unidades para cima.
Para esboçar os gráficos, aplique cada uma dessas transformações à parábola padrão
, ajustando conforme descrito para cada função
.