Quais transformações sofreu a função f(x) = x^2, para obtermos g1(x) = 2 x^2, g2(x) = 4 x^2, g3(x) = 1/2 x^2, g4(x) = 1/4 x^2, g5(x) = 2 x^2 - 2, g6(x) = 2(x - 1)^2 + 1 e g7(x) = -2(x + 1)^2 + 2. Esboce os gráficos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função básica e queremos descobrir quais transformações foram aplicadas nela para chegar às funções , , , , , e . A gente vai precisar entender sobre transformações de funções quadráticas, como dilatações (esticamentos e compressões), translações (movimentos no gráfico) e reflexões. Vamos por partes!

Passo 2

Vamos começar com . Aqui, a função básica foi multiplicada por 2. Isso é uma dilatação vertical, que significa que o gráfico da função fica mais “esticado” para cima. Em termos de fórmula, qualquer multiplicação por um número maior que 1 no coeficiente de faz o gráfico ficar mais “alto”.

Passo 3

Agora, para , a transformação é semelhante à do , mas multiplicando por 4. Isso também é uma dilatação vertical, mas dessa vez o esticamento é ainda maior. Quanto maior o coeficiente, mais “alto” fica o gráfico.

Passo 4

Vamos para . Aqui, a função foi multiplicada por . Isso é uma compressão vertical, pois o gráfico fica menos “alto” ou mais “achatado”. Quando o coeficiente está entre 0 e 1, a função é comprimida verticalmente.

Passo 5

Em seguida, temos . Novamente, multiplicamos a função básica por , que também representa uma compressão vertical, mas maior que a do . O gráfico fica ainda mais “achatado”.

Passo 6

Vamos analisar . Aqui, temos duas transformações: primeiro, multiplicamos por 2, que é uma dilatação vertical como vimos antes. Depois, subtraímos 2, o que significa que o gráfico todo foi transladado 2 unidades para baixo no eixo y.

Passo 7

Agora, para . Temos três transformações:
  1. Translação horizontal: dentro do parêntese, indica que o gráfico foi movido 1 unidade para a direita.
  2. Dilatação vertical: multiplicando por 2, o gráfico ficou mais “esticado” para cima.
  3. Translação vertical: adicionando 1, o gráfico foi movido 1 unidade para cima.

Passo 8

Por fim, vamos ver . As transformações são:
  1. Translação horizontal: indica que o gráfico foi movido 1 unidade para a esquerda.
  2. Reflexão: o sinal negativo na frente de 2, ou seja, -2, reflete o gráfico em relação ao eixo x.
  3. Dilatação vertical: multiplicando por 2, o gráfico foi esticado verticalmente.
  4. Translação vertical: adicionando 2, o gráfico foi movido 2 unidades para cima.

Resposta

As transformações aplicadas à função para obter as funções a são:
  • : Dilatação vertical por fator 2.
  • : Dilatação vertical por fator 4.
  • : Compressão vertical por fator .
  • : Compressão vertical por fator .
  • : Dilatação vertical por fator 2 e translação 2 unidades para baixo.
  • : Translação 1 unidade para a direita, dilatação vertical por fator 2 e translação 1 unidade para cima.
  • : Translação 1 unidade para a esquerda, reflexão em relação ao eixo x, dilatação vertical por fator 2 e translação 2 unidades para cima.
Para esboçar os gráficos, aplique cada uma dessas transformações à parábola padrão , ajustando conforme descrito para cada função .

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