Determine o domínio de definição das seguintes funções.
a) (x+2)/(2x-3)
b) sen(x)/cos(x)
c) (x+1)/(2x^2 + 2x - 12)
d) (x + 1) / raiz(2 x^2 + 2 x - 12)
e) (x + 3) / ln(x^2 - 2x + 1)
f) (x + 2) / ln(x^2 - 2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio de definição de várias funções. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis de para os quais a função está definida. Para isso, precisamos analisar os denominadores e as expressões dentro das raízes ou logaritmos para garantir que não haja divisões por zero, raízes de números negativos ou logaritmos de números não positivos.

Passo 2

a)
Primeiro, identificamos que o denominador não pode ser igual a zero, pois a divisão por zero é indefinida.
b)
Aqui, o denominador é . A função cosseno é zero quando , onde é um inteiro. Portanto, esses valores devem ser excluídos do domínio.
c)
Novamente, o denominador não pode ser zero. Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as raízes são:
Portanto, e .
d)
Além de o denominador não poder ser zero, a expressão dentro da raiz quadrada deve ser positiva, pois não podemos tirar a raiz de um número negativo.
Primeiro, igualamos a expressão dentro da raiz a zero:
Resolvendo a inequação quadrática:
As raízes da equação são e . O sinal da função quadrática muda nesses pontos.
Portanto, a solução da inequação é:
e)
Aqui, o denominador é um logaritmo natural. Para que o logaritmo esteja definido, o argumento deve ser positivo:
Observe que , que é sempre não negativo. Portanto:
Além disso, o denominador não pode ser zero:
f)
Primeiro, o argumento do logaritmo deve ser positivo:
Além disso, o denominador não pode ser zero:

Resposta

Os domínios das funções são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)

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