A energia de ativação de difusão (Q) de carbono em uma estrutura de ferro (ccc) é de 84 kJ / mol. Se a energia de ativação para o contorno de grão for metade da difusão da matriz e se os dois tipos de difusão tiverem o mesmo valor de D0, calcule a razão dos coeficientes de difusão a 1000 K .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a razão dos coeficientes de difusão para carbono no ferro a 1000 K. Para isso, vamos usar a equação de Arrhenius, que liga o coeficiente de difusão com a temperatura, a energia de ativação e o fator pré-exponencial .

Passo 2

Primeiro, vamos listar os dados que temos:
  • Energia de ativação para difusão na matriz ( ): 84 kJ/mol.
  • Energia de ativação para difusão no contorno de grão ( ): metade de , ou seja, kJ/mol.
  • Fator pré-exponencial ( ): o mesmo para ambos os tipos de difusão.
  • Temperatura ( ): 1000 K.
  • Constante dos gases ( ): 8,314 J/mol·K.

Passo 3

Vamos lembrar a equação de Arrhenius para o coeficiente de difusão:
D = D0 cdot e^-QR cdot T
Essa equação mostra que o coeficiente de difusão ( ) depende exponencialmente da energia de ativação ( ) e da temperatura ( ).

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes de difusão para a matriz e para o contorno de grão usando a equação de Arrhenius.
Para a matriz:
Dm = D0 cdot e^-QmR cdot T
Para o contorno de grão:
Dg = D0 cdot e^-QgR cdot T

Passo 5

Queremos encontrar a razão dos coeficientes de difusão DgDm = D0 cdot e^-QgR cdot TD0 cdot e^-QmR cdot T . Vamos dividir as duas equações:
DgDm = e^-Qg - QmR cdot T
O cancela, então:

Passo 6

Substituindo os valores que temos:
Qm = 84 , kJ/mol = 84000 , J/mol
Qg = 42 , kJ/mol = 42000 , J/mol
R = 8,314 , J/mol·K
T = 1000 , K
Agora, calculamos:
DgDm = e^-42000 - 840008,314 cdot 1000 = e^420008314 approx e^5.05 approx 155

Resposta

A razão dos coeficientes de difusão a 1000 K é aproximadamente 155.

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