Uma partícula que se move ao longo de uma trajetória curvilínea conhecida, pode ter seu movimento descrito pela equação do movimento usando as direções normal, binormal e tangencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre o movimento de uma partícula que se move em uma trajetória curvilínea. A equação do movimento está dividida nas direções tangencial, normal e binormal, e temos as seguintes equações:
Vamos precisar entender a segunda lei de Newton aplicada a movimentos em curvas e como decompor as forças e acelerações nessas três direções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada direção representa na trajetória curvilínea:
- Tangencial (t): Na direção do movimento, ou seja, na direção da velocidade.
- Normal (n): Perpendicular à direção tangencial, apontando para o centro da curva.
- Binormal (b): Perpendicular tanto à tangencial quanto à normal, completando o sistema de coordenadas tridimensionais.
Passo 3
A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante em cada direção é igual à massa da partícula multiplicada pela aceleração nessa direção:
No contexto do movimento curvilíneo, essa lei se aplica separadamente em cada uma das três direções: tangencial, normal e binormal.
Passo 4
Vamos analisar cada equação:
-
Tangencial:Aqui,
é a soma das forças na direção tangencial, e é a aceleração tangencial. Essa aceleração está relacionada à variação da velocidade ao longo do tempo. -
Normal:
é a soma das forças na direção normal, e é a aceleração normal, que está ligada à curvatura da trajetória. -
Binormal:Isso indica que não há forças atuando na direção binormal, ou seja, a aceleração binormal
é zero.
Passo 5
Vamos focar nas acelerações. Em movimento curvilíneo, a aceleração total
pode ser decomposta em duas componentes principais:
- Tangencial (
): Relacionada à mudança na rapidez. - Normal (
): Relacionada à mudança na direção da velocidade.
A aceleração binormal geralmente está associada a movimentos tridimensionais com torção, mas no nosso caso, como
, não precisamos nos preocupar com ela.
Passo 6
A aceleração normal pode ser expressa em termos da velocidade
e do raio de curvatura
da trajetória:
Essa fórmula mostra como a velocidade e a curvatura da trajetória influenciam a aceleração normal.
Passo 7
Agora, podemos substituir
na equação da força normal:
Isso nos diz que a soma das forças normais é igual à massa multiplicada pela aceleração normal.
Passo 8
Se quisermos encontrar, por exemplo, a força centrípeta necessária para manter a partícula em uma trajetória circular, podemos usar a equação acima. Suponha que
seja conhecido, assim como a massa
e a velocidade
.
Passo 9
Vamos supor que queremos calcular
. Se a partícula está se movendo com velocidade constante, então
, e portanto:
Isso significa que não há forças atuando na direção tangencial, ou seja, não há aceleração na velocidade.
Resposta
Então, resumindo, a soma das forças na direção tangencial é zero quando a velocidade é constante, e a soma das forças na direção normal é dada por:
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