Uma partícula que se move ao longo de uma trajetória curvilínea conhecida, pode ter seu movimento descrito pela equação do movimento usando as direções normal, binormal e tangencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre o movimento de uma partícula que se move em uma trajetória curvilínea. A equação do movimento está dividida nas direções tangencial, normal e binormal, e temos as seguintes equações:
Vamos precisar entender a segunda lei de Newton aplicada a movimentos em curvas e como decompor as forças e acelerações nessas três direções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada direção representa na trajetória curvilínea:
  • Tangencial (t): Na direção do movimento, ou seja, na direção da velocidade.
  • Normal (n): Perpendicular à direção tangencial, apontando para o centro da curva.
  • Binormal (b): Perpendicular tanto à tangencial quanto à normal, completando o sistema de coordenadas tridimensionais.

Passo 3

A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante em cada direção é igual à massa da partícula multiplicada pela aceleração nessa direção:
No contexto do movimento curvilíneo, essa lei se aplica separadamente em cada uma das três direções: tangencial, normal e binormal.

Passo 4

Vamos analisar cada equação:
  1. Tangencial:
    Aqui, é a soma das forças na direção tangencial, e é a aceleração tangencial. Essa aceleração está relacionada à variação da velocidade ao longo do tempo.
  2. Normal:
    é a soma das forças na direção normal, e é a aceleração normal, que está ligada à curvatura da trajetória.
  3. Binormal:
    Isso indica que não há forças atuando na direção binormal, ou seja, a aceleração binormal é zero.

Passo 5

Vamos focar nas acelerações. Em movimento curvilíneo, a aceleração total pode ser decomposta em duas componentes principais:
  • Tangencial ( ): Relacionada à mudança na rapidez.
  • Normal ( ): Relacionada à mudança na direção da velocidade.
A aceleração binormal geralmente está associada a movimentos tridimensionais com torção, mas no nosso caso, como , não precisamos nos preocupar com ela.

Passo 6

A aceleração normal pode ser expressa em termos da velocidade e do raio de curvatura da trajetória:
Essa fórmula mostra como a velocidade e a curvatura da trajetória influenciam a aceleração normal.

Passo 7

Agora, podemos substituir na equação da força normal:
Isso nos diz que a soma das forças normais é igual à massa multiplicada pela aceleração normal.

Passo 8

Se quisermos encontrar, por exemplo, a força centrípeta necessária para manter a partícula em uma trajetória circular, podemos usar a equação acima. Suponha que seja conhecido, assim como a massa e a velocidade .

Passo 9

Vamos supor que queremos calcular . Se a partícula está se movendo com velocidade constante, então , e portanto:
Isso significa que não há forças atuando na direção tangencial, ou seja, não há aceleração na velocidade.

Resposta

Então, resumindo, a soma das forças na direção tangencial é zero quando a velocidade é constante, e a soma das forças na direção normal é dada por:

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