A energia de um oscilador harmônico é dada por
onde
é o momento e
é a constante de força. Usando o princípio de incerteza, mostre que a energia mínima do oscilador é
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o oscilador harmônico, que é um conceito da física que descreve sistemas que têm movimentos repetitivos, como um pêndulo ou uma mola. A energia desse oscilador é dada por uma fórmula que envolve o momento (
) e a constante de força (
). O que a gente precisa fazer é usar o princípio da incerteza de Heisenberg para mostrar que a energia mínima desse oscilador é
, onde
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da energia do oscilador harmônico:
Aqui,
é a energia total,
é o momento,
é a massa,
é a constante da mola, e
é a posição. Essa expressão mostra que a energia total é a soma da energia cinética (
) e da energia potencial (
).
Passo 3
Agora, vamos lembrar do princípio da incerteza de Heisenberg, que nos diz que a gente não pode conhecer com precisão absoluta tanto a posição (
) quanto o momento (
) de uma partícula ao mesmo tempo. Matematicamente, isso é expresso por:
Onde
é a incerteza na posição,
é a incerteza no momento, e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 4
Queremos encontrar a energia mínima
. Para isso, vamos assumir que o produto das incertezas alcança o limite mínimo do princípio da incerteza:
Vamos expressar a energia
em termos de
. Sabemos que:
Então, substituindo na expressão da energia:
Passo 5
Usando a relação do princípio da incerteza, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo isso na expressão da energia:
Agora, queremos minimizar essa energia em relação a
. Para isso, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isolando
:
Onde usamos
.
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na expressão da energia mínima:
Simplificando cada termo:
Resposta
A energia mínima do oscilador harmônico é
.