A energia de um oscilador harmônico é dada por
E=p^22 m+12 k x^2
onde p é o momento e k é a constante de força. Usando o princípio de incerteza, mostre que a energia mínima do oscilador é hbar omega0, onde omega0=raizkm.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o oscilador harmônico, que é um conceito da física que descreve sistemas que têm movimentos repetitivos, como um pêndulo ou uma mola. A energia desse oscilador é dada por uma fórmula que envolve o momento ( p) e a constante de força ( k). O que a gente precisa fazer é usar o princípio da incerteza de Heisenberg para mostrar que a energia mínima desse oscilador é hbar omega0, onde omega0 = raizkm.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da energia do oscilador harmônico:
E = p^22m + 12 k x^2
Aqui, E é a energia total, p é o momento, m é a massa, k é a constante da mola, e x é a posição. Essa expressão mostra que a energia total é a soma da energia cinética ( p^22m) e da energia potencial ( 12 k x^2).

Passo 3

Agora, vamos lembrar do princípio da incerteza de Heisenberg, que nos diz que a gente não pode conhecer com precisão absoluta tanto a posição ( x) quanto o momento ( p) de uma partícula ao mesmo tempo. Matematicamente, isso é expresso por:
Onde De é a incerteza na posição, De é a incerteza no momento, e hbar é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

Queremos encontrar a energia mínima Emin. Para isso, vamos assumir que o produto das incertezas alcança o limite mínimo do princípio da incerteza:
De
Vamos expressar a energia E em termos de De. Sabemos que:
p approx De
Então, substituindo na expressão da energia:
E = (De

Passo 5

Usando a relação do princípio da incerteza, podemos expressar De em termos de De:
De
Substituindo isso na expressão da energia:
E = (hbar2 De
Agora, queremos minimizar essa energia em relação a De. Para isso, derivamos E em relação a De e igualamos a zero:
dEd(De

Passo 6

Resolvendo a equação para De:
-hbar^24m (De
Multiplicando ambos os lados por 4m (De:
hbar^2 = 4m k (De
Isolando (De:
(De
Onde usamos omega0 = raizkm.

Passo 7

Agora, substituímos De de volta na expressão da energia mínima:
Emin = hbar^28m (De
Simplificando cada termo:
Emin = hbar omega04 + hbar omega04 = hbar omega02 + hbar omega02 = hbar omega0

Resposta

A energia mínima do oscilador harmônico é Emin = hbar omega0.

Exercícios relacionados