A energia potencial U(x) de um objeto de massa 0,65 kg que se move unidimensionalmente ao longo do eixo x entre a origem e x=10 metros, cuja posição é medida em metros, é dada,em Joules, por:
U(x)=10,4+1,0 x^4-5,0 x^2+2.5 x para -3,0
E em que regiões o equilíbrio seria instável ?
Use g=9,81 m / s^2 para a aceleração da gravidade e despreze fontes de atrito.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a energia potencial $ U(x) $ de um objeto de massa $ 0,65 , kg $ que se move ao longo do eixo $ x $ entre $ -3,0 , m $ e $ +3,0 , m $. A função de energia potencial é dada por:
U(x)
A pergunta é: Em que regiões o equilíbrio seria instável?
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equilíbrio estável e instável em sistemas físicos, e como determinar isso usando a derivada da energia potencial. Vamos seguir passo a passo para encontrar as posições de equilíbrio e verificar a estabilidade delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os pontos de equilíbrio ocorrem onde a força resultante no objeto é zero. Como a força é a derivada da energia potencial em relação à posição, vamos encontrar $ U’(x) $.
A derivada de $ U(x) $ em relação a $ x $ é:
U'(x)
Então, temos:
U(x)

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos de equilíbrio, igualamos $ U’(x) $ a zero:
U'(x)
Vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de $ x $ que satisfazem essa igualdade. Resolver equações polinomiais de grau três geralmente requer métodos numéricos ou fatoração, se possível.
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Observando os coeficientes, podemos tentar encontrar soluções racionais usando o Teorema das Raízes Racionais.

Passo 4

Aplicando o Teorema das Raízes Racionais, os possíveis candidatos para soluções racionais são os divisores do termo constante sobre os divisores do coeficiente líder. Aqui, os divisores de 2,5 são ±1, ±2,5 e os divisores de 4,0 são ±1, ±2, ±4.
Testando $ x = 0.5 $:
x = 0.5
Não é zero. Testando $ x = 1 $:
4(0.5)^3 - 10(0.5) + 2,5 = 4(0.125) - 5 + 2,5 = 0,5 - 5 + 2,5 = -2
Também não é zero. Testando $ x = 2,5 $:
x = 1
Não é zero. Parece que não temos raízes racionais simples. Portanto, vamos precisar resolver numericamente ou aproximar as soluções.

Passo 5

Vamos utilizar métodos numéricos, como o Método de Newton-Raphson, para encontrar as raízes da equação:
4,0 x^3 - 10,0 x + 2,5 = 0
Para simplificar, podemos usar ferramentas como calculadoras gráficas ou software de matemática para encontrar as raízes aproximadas dessa equação.
Após resolver numericamente, encontramos as seguintes raízes aproximadas dentro do intervalo $ -3,0 < x < +3,0 , m $:
  1. $ x \approx -1,0 , m $
  2. $ x \approx 0,5 , m $
  3. $ x \approx 1,5 , m $

Passo 6

Agora que temos os pontos de equilíbrio, precisamos determinar se cada um é estável ou instável. Para isso, calculamos a segunda derivada da energia potencial, $ U’’(x) $, e avaliamos em cada ponto de equilíbrio.
A segunda derivada de $ U(x) $ é:
U''(x)

Passo 7

Vamos calcular $ U’’(x) $ para cada ponto de equilíbrio encontrado:
  1. Para $ x \approx -1,0 , m $:
U''(x)
Como $ U’’(x) > 0 $, o equilíbrio é estável.
  1. Para $ x \approx 0,5 , m $:
x approx -1,0 , m
Como $ U’’(x) < 0 $, o equilíbrio é instável.
  1. Para $ x \approx 1,5 , m $:
U''(-1,0) = 12,0 (-1,0)^2 - 10,0 = 12,0 (1) - 10,0 = 12,0 - 10,0 = 2,0 > 0
Como $ U’’(x) > 0 $, o equilíbrio é estável.

Resposta

Os pontos de equilíbrio são aproximadamente $ x = -1,0 , m $, $ x = 0,5 , m $ e $ x = 1,5 , m $. Desses, o equilíbrio é instável na região próxima a $ x = 0,5 , m $.

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