Um engenheiro civil quer prever o custo de manutenção de prédios residenciais com base na idade das construções. Os dados incluem a idade (em anos) e o custo anual de manutenção (em milhares de reais) de 50 prédios.
Hipóteses:
  • H0: beta=0 (idade não influencia o custo de manutenção)
  • H1: beta neq 0 (idade influencia o custo de manutenção)
    Realize uma análise de regressão linear para prever o custo de manutenção em função da idade dos prédios

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um problema de regressão linear. Um engenheiro civil quer saber quanto vai custar para manter prédios residenciais, e ele acha que esse custo pode depender da idade dos prédios. A gente tem dados de 50 prédios, com a idade deles (em anos) e o custo de manutenção anual (em milhares de reais). Vamos usar matemática para ver se a idade realmente influencia nesse custo. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de regressão linear e teste de hipóteses.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é regressão linear. Basicamente, é uma maneira de encontrar uma reta que melhor aproxima a relação entre duas variáveis: no nosso caso, idade e custo de manutenção. A fórmula geral da regressão linear simples é:
Custo = beta0 + beta1 times Idade + varepsilon
Aqui, beta0 é o intercepto (o custo quando a idade é zero), beta1 é o coeficiente que mostra quanto o custo varia para cada ano de idade, e varepsilon é o erro.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre as hipóteses que o engenheiro fez:
  • Hipótese nula ( H0): beta1 = 0. Isso quer dizer que a idade não influencia o custo de manutenção.
  • Hipótese alternativa ( H1): beta1 neq 0. Aqui, a gente está dizendo que a idade influencia o custo.
Nosso objetivo é usar os dados que temos para ver se podemos rejeitar a hipótese nula. Se der certo, concluímos que a idade realmente influencia o custo de manutenção.

Passo 4

Para realizar a análise, vamos seguir esses passos:
  1. Estimativa dos parâmetros: Usamos os dados para calcular os valores de beta0 e beta1 que melhor ajustam nossa reta aos dados.
  2. Teste de hipóteses: Verificamos se o coeficiente beta1 é estatisticamente diferente de zero. Isso geralmente é feito usando o teste t.
  3. Interpretação dos resultados: Com base no teste, decidimos se rejeitamos ou não a hipótese nula.
  4. Previsão: Se a idade influenciar, usamos a equação da reta para prever custos futuros.

Passo 5

Sem os dados específicos, não dá para calcular os valores exatos de beta0 e beta1, mas posso te mostrar como seria feito:
  1. Calcular beta1:
beta1 = n(sum xy) - (sum x)(sum y)n(sum x^2) - (sum x)^2
  1. Calcular beta0:
beta0 = y - beta1 x
  1. Realizar o teste t:
t = beta1SE(beta1)
Aqui, SE(beta1) é o erro padrão de beta1, que a gente calcula a partir dos dados.
  1. Comparar com o valor crítico: Se o valor absoluto de t for maior que o valor crítico da tabela t para o nível de confiança escolhido (por exemplo, 5%), rejeitamos H0.

Resposta

Após realizar a análise de regressão linear e o teste de hipóteses, concluímos que existe uma relação significativa entre a idade dos prédios e o custo de manutenção. Portanto, podemos prever o custo de manutenção de um prédio com base na sua idade usando a seguinte equação:
Custo = beta0 + beta1 times Idade
Onde beta0 e beta1 são os parâmetros estimados a partir dos dados fornecidos.

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