Uma moeda equilibrada será lançada repetidamente. Antes de cada lançamento, você pode apostar qualquer quantia em dinheiro no resultado cara. Nesse jogo, quando voce ganha, recebe o dobro da quantia apostada. Apresentam-se a seguir três maneiras de apostar, considerando-se apenas os três primeiros lançamentos:
  1. Aposte no primeiro lançamento. Se ganhar, pare. Se perder, aposte no primeiro lançamento Se ganhar, pare Se perder, aposte no segundo lançamento. Se ganhar no segundo, pare. Se perder novamente, aposte 2 no terceiro lançamento.
  2. Aposte no primeiro lançamento. Se ganhar, pare. Se perder, aposte no terceiro lançamento 2 Aposte cada um dos lançamentos seguintes.
  3. Aposte 1 cada um dos três lançamentos.
    Calcule a esperança de sua renda líquida segundo cada um dos sistemas de aposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre diferentes maneiras de apostar em lançamentos de uma moeda equilibrada. O que precisamos calcular é a esperança matemática da renda líquida em cada um dos três sistemas de aposta apresentados, considerando apenas os três primeiros lançamentos. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e expectativa matemática.

Passo 2

Vamos analisar o Sistema 1:
Sistema 1:
  1. Aposte $1 no primeiro lançamento. Se ganhar, para.
  2. Se perder, aposte $2 no segundo lançamento. Se ganhar, para.
  3. Se perder novamente, aposte $4 no terceiro lançamento.
Vamos calcular a renda líquida para cada cenário e a probabilidade de cada um:
  1. Ganha no primeiro lançamento:
    • Aposta: $1
    • Ganho: $2
    • Renda líquida: $2 - $1 = $1
    • Probabilidade: $ \frac{1}{2} $
  2. Perde o primeiro e ganha no segundo lançamento:
    • Apostas: $1 + $2 = $3
    • Ganho: $4
    • Renda líquida: $4 - $3 = $1
    • Probabilidade: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $
  3. Perde os dois primeiros e ganha no terceiro lançamento:
    • Apostas: $1 + $2 + $4 = $7
    • Ganho: $8
    • Renda líquida: $8 - $7 = $1
    • Probabilidade: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $
  4. Perde todos os três lançamentos:
    • Apostas: $1 + $2 + $4 = $7
    • Ganho: $0
    • Renda líquida: $0 - $7 = -$7
    • Probabilidade: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $

Passo 3

Agora, vamos calcular a esperança matemática para o Sistema 1. A esperança é a soma dos produtos das rendas líquidas pelas suas respectivas probabilidades:
E1 = (1 times 12) + (1 times 14) + (1 times 18) + (-7 times 18)
Calculando:
E1 = 12 + 14 + 18 - 78 = 48 + 28 + 18 - 78 = 08 = 0

Passo 4

Vamos agora para o Sistema 2:
Sistema 2:
  1. Aposte $1 no primeiro lançamento. Se ganhar, para.
  2. Se perder, aposte $1 em cada um dos dois lançamentos seguintes.
Vamos detalhar os pontos:
  1. Ganha no primeiro lançamento:
    • Aposta: $1
    • Ganho: $2
    • Renda líquida: $2 - $1 = $1
    • Probabilidade: $ \frac{1}{2} $
  2. Perde o primeiro e ganha no segundo lançamento:
    • Apostas: $1 + $1 = $2
    • Ganho: $2
    • Renda líquida: $2 - $2 = $0
    • Probabilidade: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $
  3. Perde o primeiro, perde o segundo e ganha no terceiro lançamento:
    • Apostas: $1 + $1 + $1 = $3
    • Ganho: $2
    • Renda líquida: $2 - $3 = -$1
    • Probabilidade: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $
  4. Perde todos os três lançamentos:
    • Apostas: $1 + $1 + $1 = $3
    • Ganho: $0
    • Renda líquida: $0 - $3 = -$3
    • Probabilidade: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $

Passo 5

Calculando a esperança matemática para o Sistema 2:
E2 = (1 times 12) + (0 times 14) + (-1 times 18) + (-3 times 18)
Calculando:
E2 = 12 + 0 - 18 - 38 = 48 - 48 = 0

Passo 6

Por fim, vamos analisar o Sistema 3:
Sistema 3:
  1. Aposte $1 em cada um dos três lançamentos, independente dos resultados anteriores.
Vamos detalhar:
Para cada lançamento:
  • Ganha: Recebe $2, renda líquida $1 ($2 - $1).
  • Perde: Renda líquida -$1.
Como são lançamentos independentes, a expectativa de cada lançamento é:
1 em cada um dos três lançamentos, independente dos resuêç
Como são três lançamentos, a esperança total é:
1 (

Resposta

A esperança da renda líquida para cada sistema de aposta é:
  1. Sistema 1: $0
  2. Sistema 2: $0
  3. Sistema 3: $0

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