Uma moeda equilibrada será lançada repetidamente. Antes de cada lançamento, você pode apostar qualquer quantia em dinheiro no resultado cara. Nesse jogo, quando voce ganha, recebe o dobro da quantia apostada. Apresentam-se a seguir três maneiras de apostar, considerando-se apenas os três primeiros lançamentos:
- Aposte
no primeiro lançamento. Se ganhar, pare. Se perder, aposte
no segundo lançamento. Se ganhar no segundo, pare. Se perder novamente, aposte
no terceiro lançamento.
- Aposte
no primeiro lançamento. Se ganhar, pare. Se perder, aposte
cada um dos lançamentos seguintes.
- Aposte
cada um dos três lançamentos.
Calcule a esperança de sua renda líquida segundo cada um dos sistemas de aposta.
Calcule a esperança de sua renda líquida segundo cada um dos sistemas de aposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre diferentes maneiras de apostar em lançamentos de uma moeda equilibrada. O que precisamos calcular é a esperança matemática da renda líquida em cada um dos três sistemas de aposta apresentados, considerando apenas os três primeiros lançamentos. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e expectativa matemática.
Passo 2
Vamos analisar o Sistema 1:
Sistema 1:
- Aposte $1 no primeiro lançamento. Se ganhar, para.
- Se perder, aposte $2 no segundo lançamento. Se ganhar, para.
- Se perder novamente, aposte $4 no terceiro lançamento.
Vamos calcular a renda líquida para cada cenário e a probabilidade de cada um:
-
Ganha no primeiro lançamento:
- Aposta: $1
- Ganho: $2
- Renda líquida: $2 - $1 = $1
- Probabilidade: $ \frac{1}{2} $
-
Perde o primeiro e ganha no segundo lançamento:
- Apostas: $1 + $2 = $3
- Ganho: $4
- Renda líquida: $4 - $3 = $1
- Probabilidade: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $
-
Perde os dois primeiros e ganha no terceiro lançamento:
- Apostas: $1 + $2 + $4 = $7
- Ganho: $8
- Renda líquida: $8 - $7 = $1
- Probabilidade: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $
-
Perde todos os três lançamentos:
- Apostas: $1 + $2 + $4 = $7
- Ganho: $0
- Renda líquida: $0 - $7 = -$7
- Probabilidade: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $
Passo 3
Agora, vamos calcular a esperança matemática para o Sistema 1. A esperança é a soma dos produtos das rendas líquidas pelas suas respectivas probabilidades:
Calculando:
Passo 4
Vamos agora para o Sistema 2:
Sistema 2:
- Aposte $1 no primeiro lançamento. Se ganhar, para.
- Se perder, aposte $1 em cada um dos dois lançamentos seguintes.
Vamos detalhar os pontos:
-
Ganha no primeiro lançamento:
- Aposta: $1
- Ganho: $2
- Renda líquida: $2 - $1 = $1
- Probabilidade: $ \frac{1}{2} $
-
Perde o primeiro e ganha no segundo lançamento:
- Apostas: $1 + $1 = $2
- Ganho: $2
- Renda líquida: $2 - $2 = $0
- Probabilidade: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $
-
Perde o primeiro, perde o segundo e ganha no terceiro lançamento:
- Apostas: $1 + $1 + $1 = $3
- Ganho: $2
- Renda líquida: $2 - $3 = -$1
- Probabilidade: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $
-
Perde todos os três lançamentos:
- Apostas: $1 + $1 + $1 = $3
- Ganho: $0
- Renda líquida: $0 - $3 = -$3
- Probabilidade: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $
Passo 5
Calculando a esperança matemática para o Sistema 2:
Calculando:
Passo 6
Por fim, vamos analisar o Sistema 3:
Sistema 3:
- Aposte $1 em cada um dos três lançamentos, independente dos resultados anteriores.
Vamos detalhar:
Para cada lançamento:
- Ganha: Recebe $2, renda líquida $1 ($2 - $1).
- Perde: Renda líquida -$1.
Como são lançamentos independentes, a expectativa de cada lançamento é:
Como são três lançamentos, a esperança total é:
Resposta
A esperança da renda líquida para cada sistema de aposta é:
- Sistema 1: $0
- Sistema 2: $0
- Sistema 3: $0