A espessura da parede de 10 garrafas de vidro de 2 litros foi medida por um engenheiro de controle de qualidade. A média amostral foi de
e o desvio padrão amostral foi de
. Encontre o intervalo de
para a espessura média da parede das garrafas. Se a espessura média da parede das garrafas de vidro precisa ser de pelo menos 4 mm , com base no intervalo de confiança estimado recomenda-se o uso desse tipo de garrafa?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre medir a espessura da parede de garrafas de vidro. A gente vai trabalhar com intervalo de confiança para a média, que é um conceito importante em estatística para estimar onde está a média verdadeira da população com um certo nível de confiança. Aqui, a gente tem uma amostragem de 10 garrafas, com média amostral de
e desvio padrão amostral de
. Nosso objetivo é encontrar o intervalo de confiança de
para a espessura média da parede das garrafas e ver se, com base nisso, a espessura é suficiente (pelo menos 4 mm).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular um intervalo de confiança para a média quando o tamanho da amostra é pequeno (menor que 30) e não conhecemos o desvio padrão da população. Nesses casos, usamos a distribuição t de Student. A fórmula para o intervalo de confiança é:
Onde:
-
é a média amostral -
é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado -
é o desvio padrão amostral -
é o tamanho da amostra
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- Média amostral (
): - Desvio padrão amostral (
): - Tamanho da amostra (
): - Nível de confiança:
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar o valor crítico
. O nível de confiança é
, então
e
. Com
graus de liberdade, consultamos uma tabela t ou usamos uma calculadora estatística para encontrar
.
Por exemplo,
para 9 graus de liberdade é aproximadamente
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é
:
Passo 6
Com o valor crítico e o erro padrão, podemos calcular o intervalo de confiança:
Primeiro, multiplicamos
.
Passo 7
Então, o intervalo de confiança fica:
e
Arredondando para duas casas decimais, temos:
Resposta
O intervalo de confiança de
para a espessura média da parede das garrafas é entre
e
. Como todo esse intervalo está acima de
, recomendamos o uso desse tipo de garrafa, já que a espessura mínima exigida está atendida com segurança.