A espessura da parede de 10 garrafas de vidro de 2 litros foi medida por um engenheiro de controle de qualidade. A média amostral foi de 4,41 mm e o desvio padrão amostral foi de 0,08 mm. Encontre o intervalo de 95 % para a espessura média da parede das garrafas. Se a espessura média da parede das garrafas de vidro precisa ser de pelo menos 4 mm , com base no intervalo de confiança estimado recomenda-se o uso desse tipo de garrafa?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre medir a espessura da parede de garrafas de vidro. A gente vai trabalhar com intervalo de confiança para a média, que é um conceito importante em estatística para estimar onde está a média verdadeira da população com um certo nível de confiança. Aqui, a gente tem uma amostragem de 10 garrafas, com média amostral de 4,41 mm e desvio padrão amostral de 0,08 mm. Nosso objetivo é encontrar o intervalo de confiança de 95% para a espessura média da parede das garrafas e ver se, com base nisso, a espessura é suficiente (pelo menos 4 mm).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular um intervalo de confiança para a média quando o tamanho da amostra é pequeno (menor que 30) e não conhecemos o desvio padrão da população. Nesses casos, usamos a distribuição t de Student. A fórmula para o intervalo de confiança é:
barx pm talpha/2 cdot ( sraizn )
Onde:
  • barx é a média amostral
  • talpha/2 é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado
  • s é o desvio padrão amostral
  • n é o tamanho da amostra

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Média amostral ( barx): 4,41 mm
  • Desvio padrão amostral ( s): 0,08 mm
  • Tamanho da amostra ( n): 10
  • Nível de confiança: 95%

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar o valor crítico talpha/2. O nível de confiança é 95%, então alpha = 1 - 0,95 = 0,05 e alpha/2 = 0,025. Com n - 1 = 9 graus de liberdade, consultamos uma tabela t ou usamos uma calculadora estatística para encontrar t0,025.
Por exemplo, t0,025 para 9 graus de liberdade é aproximadamente 2,262.

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é sraizn:
0,08raiz10 approx 0,083,162 approx 0,0253 mm

Passo 6

Com o valor crítico e o erro padrão, podemos calcular o intervalo de confiança:
4,41 pm 2,262 cdot 0,0253
Primeiro, multiplicamos 2,262 times 0,0253 approx 0,0572.

Passo 7

Então, o intervalo de confiança fica:
4,41 - 0,0572 = 4,3528 mm
e
4,41 + 0,0572 = 4,4672 mm
Arredondando para duas casas decimais, temos:
[4,35 mm, 4,47 mm]

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a espessura média da parede das garrafas é entre 4,35 mm e 4,47 mm. Como todo esse intervalo está acima de 4 mm, recomendamos o uso desse tipo de garrafa, já que a espessura mínima exigida está atendida com segurança.

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