Um engenheiro está estudando a resistência à tração de uma liga de aço. Sabe-se que a resistência dessa liga tem distribuição normal, com sigma=18,30 MPa. Uma amostra aleatória de 12 corpos de prova apresentou resistência média de 220 MPa .
Há evidência estatística que suporte a afirmação de que a resistência média real seja diferente de 230 MPa ? Use alpha=0,01 ;(R: Zt=-1,89. Aceita H0)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um engenheiro que está estudando a resistência à tração de uma liga de aço, que sabemos que segue uma distribuição normal com desvio padrão sigma = 18,30 MPa. Ele pegou uma amostra de 12 corpos de prova e a resistência média dessa amostra foi de 220 MPa. A questão quer saber se há evidências estatísticas para afirmar que a resistência média real desse aço seja diferente de 230 MPa, usando um nível de significância alpha = 0,01. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre testes de hipótese para médias com distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses que vamos testar. Nesse caso, queremos verificar se a média real é diferente de 230 MPa. Então temos:
  • Hipótese Nula ( H0): A média real mu é igual a 230 MPa.
    H0: mu = 230 MPa
  • Hipótese Alternativa ( H1): A média real mu é diferente de 230 MPa.
    H1: mu neq 230 MPa

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico, que nesse caso é o Z. A fórmula para o teste Z quando conhecemos o desvio padrão da população é:
Z = X - mu0sigma / raizn
Onde:
  • X é a média da amostra (220 MPa),
  • mu0 é a média hipotética (230 MPa),
  • sigma é o desvio padrão (18,30 MPa),
  • n é o tamanho da amostra (12).
Substituindo os valores:
Z = 220 - 23018,30 / raiz12
Vamos calcular:
Z = -1018,30 / 3,464
Z = -105,287
Z approx -1,89

Passo 4

Agora, precisamos comparar o valor calculado de Z com os valores críticos do Z para o nível de significância alpha = 0,01 em um teste bicaudal (já que estamos verificando se é diferente, não apenas maior ou menor).
Os valores críticos para alpha = 0,01 em um teste bicaudal são Zcrit = pm2,576.
Então, estabelecemos a regra:
  • Se Z < -2,576 ou Z > 2,576, rejeitamos H0.
  • Caso contrário, não rejeitamos H0.
No nosso caso, Z approx -1,89, que está dentro do intervalo -2,576 < Z < 2,576.

Passo 5

Como o valor de Z calculado ( -1,89) não está na região crítica, não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Não há evidência estatística suficiente para afirmar que a resistência média real da liga de aço seja diferente de 230 MPa ao nível de significância de 1%.

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