Um pesquisador da área econômica está coletando dados sobre funcionários de mercearias em um condado. Os dados listados representam uma amostra aleatória do número de horas semanais trabalhadas por 40 funcionários de diversas mercearias no condado. Encontre um intervalo de confiança para média populacional. (Adaptado de: U.S. Bureau of Labor Statistics)
Calcule a média e desvio padrão amostral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a média e o desvio padrão de uma amostra. Nosso tema aqui é Estatística, especificamente sobre como estimar a média populacional usando uma amostra aleatória. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média amostral e o desvio padrão amostral. Esses cálculos são fundamentais para entender como os dados se distribuem e para construir intervalos de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média amostral. A média nos dá uma ideia do valor típico dos dados. A fórmula para calcular a média (
) é:
Onde:
-
é a soma de todos os valores da amostra. -
é o número de observações na amostra.
Passo 3
Vamos somar todos os valores da amostra e depois dividir pelo número total de funcionários, que é 40. Primeiro, listamos os valores:
Agora, somamos todos esses números:
Agora, dividimos pela quantidade de funcionários:
Passo 4
Agora, vamos calcular o desvio padrão amostral, que nos mostra o quanto os dados variam em torno da média. A fórmula para o desvio padrão amostral (
) é:
Onde:
-
são os valores individuais da amostra. -
é a média amostral. -
é o número de observações na amostra.
Passo 5
Vamos calcular cada parte da fórmula:
- Encontrar as diferenças entre cada valor e a média:
- Elevar cada diferença ao quadrado:
- Somar todas essas diferenças ao quadrado:
- Dividir pela quantidade de observações menos 1 (para a amostra):
- Extrair a raiz quadrada do resultado para encontrar o desvio padrão:
Vamos fazer esses cálculos passo a passo.
Primeiro, calculamos cada
e depois elevamos ao quadrado:
(Para brevidade, os cálculos intermediários são omitidos, mas você deve calcular cada diferença e seu quadrado.)
Depois de calcular todos os $ (x_i - \bar{x})^2 $, somamos todos esses valores:
Agora, dividimos pela quantidade de observações menos 1:
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar o desvio padrão:
Resposta
A média amostral é aproximadamente 30,53 horas e o desvio padrão amostral é aproximadamente 3,17 horas.