Um pesquisador da área econômica está coletando dados sobre funcionários de mercearias em um condado. Os dados listados representam uma amostra aleatória do número de horas semanais trabalhadas por 40 funcionários de diversas mercearias no condado. Encontre um intervalo de confiança para média populacional. (Adaptado de: U.S. Bureau of Labor Statistics)
Quantos funcionários devem ser incluídos na amostra para estar
confiante de que a diferença máxima entre a média amostral e a média populacional seja de 1,5 hora?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está pedindo para a gente descobrir quantos funcionários a gente precisa pesquisar para ter 95% de certeza de que a média das horas trabalhadas na amostra está bem pertinho da média real da população, com no máximo uma diferença de 1,5 hora. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre intervalo de confiança e tamanho de amostra.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa calcular o desvio padrão da amostra. O desvio padrão nos mostra o quanto os dados se espalham em torno da média. Com os dados fornecidos, vamos calcular a média e depois o desvio padrão.
Passo 3
Depois de achar o desvio padrão, precisamos identificar o valor crítico z para um nível de confiança de 95%. Esse valor nos indica quantos desvios padrão precisamos considerar para garantir a confiança desejada. Para 95%, o z é aproximadamente 1,96.
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula para calcular o tamanho da amostra necessário para atingir a precisão desejada:
Onde:
- $ z $ é o valor crítico (1,96 para 95% de confiança)
- $ s $ é o desvio padrão da amostra
- $ E $ é a margem de erro máxima permitida (1,5 hora)
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Calculando isso, a gente encontra o tamanho da amostra necessário para garantir que a média da amostra esteja dentro de 1,5 hora da média real da população com 95% de confiança.
Resposta
O número mínimo de funcionários que devem ser incluídos na amostra é aproximadamente n.