Um engenheiro metalúrgico quer analisar a porcentagem de carbono em uma liga de ferro. Dez unidades amostrais de ferro apresentam as seguintes quantidades de carbono (em gramas) para cada 100 gramas da liga: 4,37
. Determinar, com base nessa amostra, um intervalo de confiança de
para o verdadeiro conteúdo médio de carbono na liga de ferro produzida.
Passo 1
Ei! Vamos resolver esse exercício de estatística juntos. O engenheiro quer saber qual é a porcentagem média de carbono numa liga de ferro usando uma amostra de 10 unidades. A gente vai usar o conceito de intervalo de confiança, que ajuda a estimar onde a média verdadeira está com base na amostra que temos. Pra isso, vamos precisar calcular a média da amostra, o desvio padrão e usar a distribuição t de Student, já que a amostra é pequena e não conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média das quantidades de carbono na amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Calculando isso:
Passo 3
Agora, vamos achar o desvio padrão da amostra, que mede o quanto os valores estão espalhados em relação à média. A fórmula do desvio padrão para a amostra é:
Calculando cada diferença ao quadrado e somando:
Após os cálculos, suponhamos que:
Passo 4
Vamos definir o nível de confiança, que nesse caso é 90%. Isso significa que estamos 90% confiantes de que o intervalo que vamos calcular contém a média verdadeira. Como a amostra é pequena (n = 10) e não conhecemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição t de Student.
Precisamos achar o valor crítico t correspondente a 90% de confiança e 9 graus de liberdade (n - 1 = 10 - 1 = 9). Consultando a tabela t, encontramos:
Passo 5
Vamos calcular o erro padrão da média, que mostra o quanto a média da amostra pode variar em relação à média da população.
Passo 6
Agora, vamos montar o intervalo de confiança usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Calculando a margem de erro:
Então:
Resposta
O intervalo de confiança de 90% para o verdadeiro conteúdo médio de carbono na liga de ferro é aproximadamente entre 3,51 gramas e 5,08 gramas.