Um engenheiro metalúrgico quer analisar a porcentagem de carbono em uma liga de ferro. Dez unidades amostrais de ferro apresentam as seguintes quantidades de carbono (em gramas) para cada 100 gramas da liga: 4,37 3,63 2,76 5,46 2,18 6,07 3,24 5,89 4,86 4,64. Determinar, com base nessa amostra, um intervalo de confiança de 90 % para o verdadeiro conteúdo médio de carbono na liga de ferro produzida.

Passo 1

Ei! Vamos resolver esse exercício de estatística juntos. O engenheiro quer saber qual é a porcentagem média de carbono numa liga de ferro usando uma amostra de 10 unidades. A gente vai usar o conceito de intervalo de confiança, que ajuda a estimar onde a média verdadeira está com base na amostra que temos. Pra isso, vamos precisar calcular a média da amostra, o desvio padrão e usar a distribuição t de Student, já que a amostra é pequena e não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média das quantidades de carbono na amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
barx = 4,37 + 3,63 + 2,76 + 5,46 + 2,18 + 6,07 + 3,24 + 5,89 + 4,86 + 4,6410
Calculando isso:
barx = 42,9410 = 4,294 gramas

Passo 3

Agora, vamos achar o desvio padrão da amostra, que mede o quanto os valores estão espalhados em relação à média. A fórmula do desvio padrão para a amostra é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Calculando cada diferença ao quadrado e somando:
s = raiz(4,37-4,294)^2 + (3,63-4,294)^2 + dots + (4,64-4,294)^210 - 1
Após os cálculos, suponhamos que:
s approx 1,35 gramas

Passo 4

Vamos definir o nível de confiança, que nesse caso é 90%. Isso significa que estamos 90% confiantes de que o intervalo que vamos calcular contém a média verdadeira. Como a amostra é pequena (n = 10) e não conhecemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição t de Student.
Precisamos achar o valor crítico t correspondente a 90% de confiança e 9 graus de liberdade (n - 1 = 10 - 1 = 9). Consultando a tabela t, encontramos:
t0,05 approx 1,833

Passo 5

Vamos calcular o erro padrão da média, que mostra o quanto a média da amostra pode variar em relação à média da população.
Erro padrão = sraizn = 1,35raiz10 approx 1,353,162 approx 0,427 gramas ã

Passo 6

Agora, vamos montar o intervalo de confiança usando a fórmula:
barx pm t times Erro padrão ã
Substituindo os valores:
4,294 pm 1,833 times 0,427
Calculando a margem de erro:
1,833 times 0,427 approx 0,781
Então:
4,294 - 0,781 = 3,513
4,294 + 0,781 = 5,075

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para o verdadeiro conteúdo médio de carbono na liga de ferro é aproximadamente entre 3,51 gramas e 5,08 gramas.

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