O sindicato dos funcionários afirma que o lucro médio das montadoras por carro produzido é superior a mil. Uma amostra de 16 observações resultou em: . Estaria o sindicato certo? .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. O sindicato afirma que o lucro médio das montadoras por carro produzido é maior que R$ 2 mil. Para verificar isso, vamos usar uma amostra com 16 observações, onde a soma dos lucros é 38,4 e a soma dos quadrados dos lucros é 130,58. Vamos precisar usar testes de hipóteses, mais especificamente o teste t de Student, para comparar a média amostral com o valor proposto pelo sindicato.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média amostral ( ). A média é a soma dos valores dividida pelo número de observações.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a variância amostral ( ). A fórmula para a variância é:
Substituindo os valores:

Passo 4

Em seguida, calculamos o desvio padrão amostral ( ) tirando a raiz quadrada da variância:

Passo 5

Agora, vamos formular as hipóteses para o teste:
  • Hipótese nula ( ): O lucro médio é igual a R$ 2 mil, ou seja, .
  • Hipótese alternativa ( ): O lucro médio é maior que R$ 2 mil, ou seja, .

Passo 6

Vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula:

Passo 7

Precisamos encontrar o valor crítico t para um teste unilateral com nível de significância e graus de liberdade . Consultando a tabela t de Student, o valor crítico é aproximadamente 2,602.

Passo 8

Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
  • Se í, rejeitamos .
  • Se í, não rejeitamos .
No nosso caso, , portanto, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base na amostra e no nível de significância de 1%, não há evidências suficientes para confirmar que o lucro médio das montadoras por carro produzido é superior a R$ 2 mil. Portanto, o sindicato não está correto.

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