Um engenheiro vai projetar uma piscina, em forma de paralelepípedo reto-retângulo, cujas medidas internas são, em m, expressas por x, 20-x, e 2. O volume da piscina em função de x é: V(x) = -2x² + 40x. O maior volume que esta piscina poderá ter, em m³, é igual a:
a) 240
b) 220
c) 200
d) 150
e) 100
a) 240
b) 220
c) 200
d) 150
e) 100
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um engenheiro que vai projetar uma piscina com formato de paralelepípedo reto-retângulo. As medidas internas da piscina são $ x $, $ 20 - x $ e $ 2 $ metros. A gente tem a função volume dessa piscina em função de $ x $: $ V(x) = -2x² + 40x $. Nosso objetivo é descobrir qual é o maior volume que essa piscina pode ter. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e identificar o ponto máximo dessa função.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a função $ V(x) = -2x² + 40x $ é uma função quadrática. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Como o coeficiente de $ x² $ é negativo ($ -2 $), a parábola abre para baixo, o que significa que ela tem um ponto mais alto, ou seja, um máximo.
Passo 3
Para encontrar esse máximo, usamos a fórmula do vértice da parábola. A fórmula para encontrar o valor de $ x $ no vértice é:
Onde $ a $ é o coeficiente de $ x² $ e $ b $ é o coeficiente de $ x $ na função quadrática. No nosso caso, $ a = -2 $ e $ b = 40 $.
Substituindo os valores na fórmula:
Então, $ x = 10 $ metros.
Passo 4
Agora que encontramos o valor de $ x $ que maximiza o volume, vamos substituir esse valor na função $ V(x) $ para encontrar o volume máximo:
Então, o maior volume que a piscina pode ter é de $ 200 $ metros cúbicos.
Resposta
c) 200