Enumerar, localizar, separar e calcular, se possivel, todas as raizes da função f(x)=e^x^2-x-6, considere varepsilon=10^-6, 6 casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
b) Posição Falsa;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde a gente precisa encontrar todas as raízes da função usando o método da Posição Falsa. A gente vai precisar entender como o método funciona, identificar onde a função muda de sinal (o que indica a presença de uma raiz) e aplicar o método com uma precisão de e seis casas decimais.

Passo 2

Primeiro, vamos enumerar e localizar as raízes. Para isso, vamos verificar os valores de f(0) = e^0 - 0 - 6 = 1 - 0 - 6 = -5 em alguns pontos para ver onde a função muda de sinal.
  • Para f(2) = e^4 - 2 - 6 approx 54.598 - 8 = 46.598 :
    f(-1) = e^1 - (-1) - 6 approx 2.718 + 1 - 6 = -2.282
  • Para f(-2) = e^4 - (-2) - 6 approx 54.598 + 2 - 6 = 50.598 :
  • Para :
  • Para :
Observamos que muda de negativo para positivo entre e , e também entre e . Então, temos duas raízes nesses intervalos.

Passo 3

Agora, vamos separar os intervalos onde estão as raízes:
  1. Primeira raiz entre e
  2. Segunda raiz entre e
Vamos aplicar o método da Posição Falsa em cada um desses intervalos.

Passo 4

Método da Posição Falsa: Esse método é parecido com o método da bisseção, mas em vez de pegar o ponto médio do intervalo, usamos a interseção da linha que liga xnovo = b - f(b)(a - b)f(a) - f(b) e com o eixo . A fórmula para encontrar o próximo é:
Vamos aplicar isso para cada intervalo até que a diferença entre as iterações seja menor que .

Passo 5

Primeira raiz entre xnovo = -1 - (-2.282)(-2 - (-1))50.598 - (-2.282) approx -1 - (-2.282)(-1)52.88 approx -1 - 2.28252.88 approx -1.043 e x approx -1.841405 :
  1. ,
  2. Calculamos e
  3. Aplicamos a fórmula:
  4. Calculamos e verificamos o sinal para ajustar o intervalo.
Repetimos esse processo até que a diferença entre dois consecutivos seja menor que . Após algumas iterações, encontramos a primeira raiz aproximada:

Passo 6

Segunda raiz entre xnovo = 2 - 46.598(1 - 2)-4.282 - 46.598 approx 2 - -46.598-50.88 approx 2 - 0.914 approx 1.086 e x approx 1.678346 :
  1. ,
  2. Calculamos e
  3. Aplicamos a fórmula:
  4. Calculamos e ajustamos o intervalo conforme o sinal.
Repetimos o processo até atingir a precisão desejada. Após várias iterações, encontramos a segunda raiz aproximada:

Resposta

As raízes da função x1 approx -1.841405 encontradas pelo método da Posição Falsa são:
x2 approx 1.678346

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