Enumerar, localizar, separar e calcular, se possivel, todas as raizes da função , considere casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
b) Posição Falsa;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde a gente precisa encontrar todas as raízes da função usando o método da Posição Falsa. A gente vai precisar entender como o método funciona, identificar onde a função muda de sinal (o que indica a presença de uma raiz) e aplicar o método com uma precisão de e seis casas decimais.

Passo 2

Primeiro, vamos enumerar e localizar as raízes. Para isso, vamos verificar os valores de em alguns pontos para ver onde a função muda de sinal.
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Observamos que muda de negativo para positivo entre e , e também entre e . Então, temos duas raízes nesses intervalos.

Passo 3

Agora, vamos separar os intervalos onde estão as raízes:
  1. Primeira raiz entre e
  2. Segunda raiz entre e
Vamos aplicar o método da Posição Falsa em cada um desses intervalos.

Passo 4

Método da Posição Falsa: Esse método é parecido com o método da bisseção, mas em vez de pegar o ponto médio do intervalo, usamos a interseção da linha que liga e com o eixo . A fórmula para encontrar o próximo é:
Vamos aplicar isso para cada intervalo até que a diferença entre as iterações seja menor que .

Passo 5

Primeira raiz entre e :
  1. ,
  2. Calculamos e
  3. Aplicamos a fórmula:
  4. Calculamos e verificamos o sinal para ajustar o intervalo.
Repetimos esse processo até que a diferença entre dois consecutivos seja menor que . Após algumas iterações, encontramos a primeira raiz aproximada:

Passo 6

Segunda raiz entre e :
  1. ,
  2. Calculamos e
  3. Aplicamos a fórmula:
  4. Calculamos e ajustamos o intervalo conforme o sinal.
Repetimos o processo até atingir a precisão desejada. Após várias iterações, encontramos a segunda raiz aproximada:

Resposta

As raízes da função encontradas pelo método da Posição Falsa são:

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