Enumerar, localizar, separar e calcular, se possivel, todas as raizes da função
, considere
casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
c) Newton-Raphson. Atribua um valor para
;
c) Newton-Raphson. Atribua um valor para
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as raízes da função
usando o método de Newton-Raphson. Aqui, o conteúdo envolve funções exponenciais e métodos numéricos para encontrar zeros de funções. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para aproximar raízes de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as raízes da função
. As raízes são os valores de
que fazem com que
. Ou seja, queremos resolver a equação:
Passo 3
Antes de aplicar o método de Newton-Raphson, precisamos identificar intervalos onde as raízes podem estar localizadas. Para isso, vamos analisar o comportamento da função
:
- Quando
é muito negativo, cresce rapidamente, tornando positivo. - Quando
, . - Quando
, .
Vemos que
muda de negativo para positivo entre 0 e 2, indicando uma raiz nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos derivar
para aplicar o método de Newton-Raphson. A derivada de
é:
Passo 5
O método de Newton-Raphson usa a seguinte fórmula iterativa para aproximar a raiz:
Vamos escolher um valor inicial
no intervalo identificado anteriormente, digamos
.
Passo 6
Vamos iniciar as iterações:
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Continuaremos esse processo até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Resposta
Após aplicar o método de Newton-Raphson e iterar até que a diferença entre as aproximações seja menor que
, encontramos a raiz da função
no intervalo considerado como:
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, considere
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b) Posição Falsa;
b) Posição Falsa;
Escreva um programa para preencher valores de um vetor de inteiros com 10 posições. O usuário irá informar os valores a serem inseridos e suas respectivas posições no array. O programa deve tratar as exceções ArrayIndexOutOfBoundsException quando for informada uma posição inexistente do vetor e NumberFormatException quando o valor informado não for número.
Considere o polinômio
.
Calcule todas as raizes do polinômio através dos Métodos de Birge-Vieta e considere e 6 casas decimais.
Calcule todas as raizes do polinômio através dos Métodos de Birge-Vieta e considere
Enumerar, localizar, separar e calcular, se possivel, todas as raizes da função
, considere
casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
a) Bisseç̧ão.
a) Bisseç̧ão.