Enumerar, localizar, separar e calcular, se possivel, todas as raizes da função f(x)=e^x^2-x-6, considere varepsilon=10^-6, 6 casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
c) Newton-Raphson. Atribua um valor para x0 in[a, b];

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as raízes da função usando o método de Newton-Raphson. Aqui, o conteúdo envolve funções exponenciais e métodos numéricos para encontrar zeros de funções. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para aproximar raízes de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as raízes da função e^x^2 - x - 6 = 0 . As raízes são os valores de que fazem com que . Ou seja, queremos resolver a equação:

Passo 3

Antes de aplicar o método de Newton-Raphson, precisamos identificar intervalos onde as raízes podem estar localizadas. Para isso, vamos analisar o comportamento da função :
  • Quando é muito negativo, cresce rapidamente, tornando positivo.
  • Quando , .
  • Quando , .
Vemos que muda de negativo para positivo entre 0 e 2, indicando uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos derivar f'(x) = ddx ( e^x^2 - x - 6 ) = 2x e^x^2 - 1 para aplicar o método de Newton-Raphson. A derivada de é:

Passo 5

O método de Newton-Raphson usa a seguinte fórmula iterativa para aproximar a raiz:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos escolher um valor inicial no intervalo identificado anteriormente, digamos .

Passo 6

Vamos iniciar as iterações:
Iteração 1:
f(1) = e^1 - 1 - 6 approx 2.71828 - 7 = -4.28172
f'(1) = 2 times 1 times e^1 - 1 approx 5.43656 - 1 = 4.43656
x1 = 1 - -4.281724.43656 approx 1 + 0.966
x1 approx 1.966
Iteração 2:
f(1.966) = e^(1.966)^2 - 1.966 - 6 approx e^3.866 - 7.966 approx 47.622 - 7.966 = 39.656
f'(1.966) = 2 times 1.966 times e^3.866 - 1 approx 2 times 1.966 times 47.622 - 1 approx 187.522 - 1 = 186.522
x2 = 1.966 - 39.656186.522 approx 1.966 - 0.2125
x2 approx 1.7535
Iteração 3:
f(1.7535) = e^(1.7535)^2 - 1.7535 - 6 approx e^3.0765 - 7.7535 approx 21.756 - 7.7535 = 14.0025
f'(1.7535) = 2 times 1.7535 times e^3.0765 - 1 approx 2 times 1.7535 times 21.756 - 1 approx 76.21 - 1 = 75.21
x3 = 1.7535 - 14.002575.21 approx 1.7535 - 0.1863
x3 approx 1.5672
Continuaremos esse processo até que a diferença entre e seja menor que .

Resposta

Após aplicar o método de Newton-Raphson e iterar até que a diferença entre as aproximações seja menor que x approx 1.567204 , encontramos a raiz da função no intervalo considerado como:

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