Enumerar, localizar, separar e calcular, se possivel, todas as raizes da função , considere casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
c) Newton-Raphson. Atribua um valor para ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as raízes da função usando o método de Newton-Raphson. Aqui, o conteúdo envolve funções exponenciais e métodos numéricos para encontrar zeros de funções. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para aproximar raízes de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as raízes da função . As raízes são os valores de que fazem com que . Ou seja, queremos resolver a equação:

Passo 3

Antes de aplicar o método de Newton-Raphson, precisamos identificar intervalos onde as raízes podem estar localizadas. Para isso, vamos analisar o comportamento da função :
  • Quando é muito negativo, cresce rapidamente, tornando positivo.
  • Quando , .
  • Quando , .
Vemos que muda de negativo para positivo entre 0 e 2, indicando uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos derivar para aplicar o método de Newton-Raphson. A derivada de é:

Passo 5

O método de Newton-Raphson usa a seguinte fórmula iterativa para aproximar a raiz:
Vamos escolher um valor inicial no intervalo identificado anteriormente, digamos .

Passo 6

Vamos iniciar as iterações:
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Continuaremos esse processo até que a diferença entre e seja menor que .

Resposta

Após aplicar o método de Newton-Raphson e iterar até que a diferença entre as aproximações seja menor que , encontramos a raiz da função no intervalo considerado como:

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Enumerar, localizar, separar e calcular, se possivel, todas as raizes da função , considere casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
b) Posição Falsa;
Escreva um programa para preencher valores de um vetor de inteiros com 10 posições. O usuário irá informar os valores a serem inseridos e suas respectivas posições no array. O programa deve tratar as exceções ArrayIndexOutOfBoundsException quando for informada uma posição inexistente do vetor e NumberFormatException quando o valor informado não for número.
Considere o polinômio .
Calcule todas as raizes do polinômio através dos Métodos de Birge-Vieta e considere e 6 casas decimais.
Enumerar, localizar, separar e calcular, se possivel, todas as raizes da função , considere casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
a) Bisseç̧ão.