Considere o polinômio p(x)=x^4+1,98 x^3+1,1424 x^2+0,162602 x-0,00174225.
Calcule todas as raizes do polinômio através dos Métodos de Birge-Vieta e considere x0=-0,5 ; x0=-0,3 ; x0=-0,5 ; x0=0,03 ; varepsilon=10^-6 e 6 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um polinômio de quarto grau:
p(x) = x^4 + 1,98x^3 + 1,1424x^2 + 0,162602x - 0,00174225
E precisamos encontrar todas as raízes desse polinômio usando o Método de Birge-Vieta. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios e métodos iterativos para encontrar suas raízes, especificamente o Método de Birge-Vieta. Vamos seguir os passos direitinho para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método de Birge-Vieta. Esse método é uma forma de encontrar as raízes de um polinômio através de iteração, ou seja, ajustando nossa estimativa da raiz até que cheguemos perto o suficiente dela com a precisão desejada.
A ideia básica é começar com um palpite inicial para a raiz e, usando o polinômio e suas derivadas, refinar esse palpite passo a passo até que a diferença entre duas estimativas consecutivas seja menor que uma tolerância especificada, que no nosso caso é .
Vamos aplicar esse método para encontrar cada raiz do polinômio dado, começando pelos palpites iniciais fornecidos.

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira raiz com o palpite inicial x1 = x0 - p(x0)p'(x0) .
Iteração 1:
Usamos o Método de Newton-Raphson adaptado para polinômios, onde a próxima estimativa x approx -0,500000 é dada por:
Primeiro, calculamos e .
Depois de várias iterações, repetimos o processo até que .
Após as iterações, encontramos a primeira raiz:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda raiz usando o próximo palpite inicial x1 = x0 - p(x0)p'(x0) .
Iteração 1:
Aplicamos o mesmo processo:
x approx -0,300000
Calculamos e , e ajustamos o palpite.
Após as iterações, encontramos a segunda raiz:

Passo 5

Vamos para a terceira raiz com o palpite inicial novamente x1 = x0 - p(x0)p'(x0) .
Iteração 1:
Repetimos o processo do Método de Birge-Vieta:
x approx -0,500000
Ap��s calcular e ajustar, continuamos até a precisão desejada.
Após as iterações, encontramos a terceira raiz:

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar a quarta raiz com o palpite inicial x1 = x0 - p(x0)p'(x0) .
Iteração 1:
Aplicamos novamente o método:
x approx 0,030000
Calculamos os valores e ajustamos o palpite até atingir a precisão de .
Após as iterações, encontramos a quarta raiz:

Resposta

As raízes do polinômio x1 approx -0,500000 são:
x2 approx -0,300000
x3 approx -0,500000
x4 approx 0,030000

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