Considere o polinômio
.
Calcule todas as raizes do polinômio através dos Métodos de Birge-Vieta e considere
e 6 casas decimais.
Calcule todas as raizes do polinômio através dos Métodos de Birge-Vieta e considere
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um polinômio de quarto grau:
E precisamos encontrar todas as raízes desse polinômio usando o Método de Birge-Vieta. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios e métodos iterativos para encontrar suas raízes, especificamente o Método de Birge-Vieta. Vamos seguir os passos direitinho para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Método de Birge-Vieta. Esse método é uma forma de encontrar as raízes de um polinômio através de iteração, ou seja, ajustando nossa estimativa da raiz até que cheguemos perto o suficiente dela com a precisão desejada.
A ideia básica é começar com um palpite inicial para a raiz e, usando o polinômio e suas derivadas, refinar esse palpite passo a passo até que a diferença entre duas estimativas consecutivas seja menor que uma tolerância especificada, que no nosso caso é
.
Vamos aplicar esse método para encontrar cada raiz do polinômio dado, começando pelos palpites iniciais fornecidos.
Passo 3
Vamos começar encontrando a primeira raiz com o palpite inicial
.
Iteração 1:
Usamos o Método de Newton-Raphson adaptado para polinômios, onde a próxima estimativa é dada por:
Usamos o Método de Newton-Raphson adaptado para polinômios, onde a próxima estimativa
Primeiro, calculamos
e
.
Depois de várias iterações, repetimos o processo até que
.
Após as iterações, encontramos a primeira raiz:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda raiz usando o próximo palpite inicial
.
Iteração 1:
Aplicamos o mesmo processo:
Aplicamos o mesmo processo:
Calculamos
e
, e ajustamos o palpite.
Após as iterações, encontramos a segunda raiz:
Passo 5
Vamos para a terceira raiz com o palpite inicial novamente
.
Iteração 1:
Repetimos o processo do Método de Birge-Vieta:
Repetimos o processo do Método de Birge-Vieta:
Ap��s calcular e ajustar, continuamos até a precisão desejada.
Após as iterações, encontramos a terceira raiz:
Passo 6
Finalmente, vamos encontrar a quarta raiz com o palpite inicial
.
Iteração 1:
Aplicamos novamente o método:
Aplicamos novamente o método:
Calculamos os valores e ajustamos o palpite até atingir a precisão de
.
Após as iterações, encontramos a quarta raiz:
Resposta
As raízes do polinômio
são:
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