Enumerar, localizar, separar e calcular, se possivel, todas as raizes da função f(x)=e^x^2-x-6, considere varepsilon=10^-6, 6 casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
d) Secante. Atribua dois valores iniciais para x0 in[a, b] e x1 in[a, b].

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as raízes da função usando o Método da Secante. Esse método é uma técnica numérica para encontrar zeros de funções, ou seja, pontos onde . Para isso, vamos precisar escolher dois valores iniciais dentro de um intervalo e iterar até chegar a uma aproximação com um erro menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar aproximadamente onde estão as raízes da função. Isso ajuda a escolher bons valores iniciais para o método da Secante.
Vamos avaliar f(0) = e^0 - 0 - 6 = 1 - 0 - 6 = -5 em alguns pontos:
  • Para f(2) = e^4 - 2 - 6 approx 54.598 - 2 - 6 = 46.598 :
    f(-1) = e^1 - (-1) - 6 approx 2.718 + 1 - 6 = -2.282
  • Para f(-2) = e^4 - (-2) - 6 approx 54.598 + 2 - 6 = 50.598 :
  • Para :
  • Para :
Observando os sinais das avaliações, vemos que:
  • Entre e , muda de negativo para positivo, indicando uma raiz.
  • Entre e , também muda de positivo para negativo, indicando outra raiz.

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira raiz no intervalo .
Escolhemos dois valores iniciais, digamos e .

Passo 4

Aplicando o Método da Secante:
A fórmula da Secante é:
xn+1 = xn - f(xn) cdot xn - xn-1f(xn) - f(xn-1)
Vamos calcular as iterações até que a diferença entre x0 = 0, f(x0) = -5 e x1 = 2, f(x1) approx 46.598 seja menor que x2 = 2 - 46.598 cdot 2 - 046.598 - (-5) approx 2 - 46.598 cdot 251.598 approx 2 - 1.806 approx 0.194 .
Iteração 1:
x1 = 2, f(x1) approx 46.598
x2 approx 0.194, f(x2) = e^(0.194)^2 - 0.194 - 6 approx e^0.0376 - 0.194 - 6 approx 1.0383 - 0.194 - 6 approx -5.1557
x3 = 0.194 - (-5.1557) cdot 0.194 - 2-5.1557 - 46.598 approx 0.194 - (-5.1557) cdot -1.806-51.7537 approx 0.194 - (-5.1557) cdot 0.0349 approx 0.194 + 0.180 approx 0.374
Iteração 2:
Continuamos esse processo até que . Após várias iterações, concluímos que a primeira raiz é aproximadamente .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda raiz no intervalo .
Escolhemos dois valores iniciais, por exemplo, e .

Passo 6

Aplicando novamente o Método da Secante:
Iteração 1:
x0 = -2, f(x0) approx 50.598
x1 = -1, f(x1) approx -2.282
x2 = -1 - (-2.282) cdot -1 - (-2)-2.282 - 50.598 approx -1 - (-2.282) cdot 1-52.88 approx -1 - (2.282) cdot (-0.0189) approx -1 + 0.043 approx -0.957
Iteração 2:
x1 = -1, f(x1) approx -2.282
x2 approx -0.957, f(x2) = e^(-0.957)^2 - (-0.957) - 6 approx e^0.916 + 0.957 - 6 approx 2.499 + 0.957 - 6 approx -2.544
x3 = -0.957 - (-2.544) cdot -0.957 - (-1)-2.544 - (-2.282) approx -0.957 - (-2.544) cdot 0.043-0.262 approx -0.957 - (2.544) cdot 0.164 approx -0.957 - 0.417 approx -1.374
Continuamos iterando até que a diferença entre as aproximações seja menor que . Após várias iterações, encontramos que a segunda raiz é aproximadamente .

Resposta

As raízes da função x1 approx 1.510440 são aproximadamente:
x2 approx -1.841405

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