Enuncie e ilustre o Teorema da Probabilidade Total.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício pede para a gente enunciar e ilustrar o Teorema da Probabilidade Total. Isso está dentro da matéria de Probabilidade. Para resolver, vamos precisar entender o que é esse teorema e como aplicá-lo em um exemplo simples.

Passo 2

Primeiro, vamos enunciar o Teorema da Probabilidade Total. Esse teorema é uma ferramenta que nos ajuda a calcular a probabilidade de um evento quando ele pode acontecer de várias maneiras diferentes e mutuamente exclusivas. Em termos matemáticos, se tivermos uma partição do espaço amostral $ B_1, B_2, ···, B_n $, então para qualquer evento $ A $:
B1, B2, ldots, Bn
Ou seja, a probabilidade de $ A $ acontecer é a soma das probabilidades de $ A $ acontecer em cada cenário $ B_i $, multiplicadas pelas probabilidades desses cenários.

Passo 3

Agora, vamos ilustrar esse teorema com um exemplo prático. Imagine que você vai fazer uma prova que tem duas perguntas: uma de matemática e outra de português. Suponha que a probabilidade de você acertar a matemática é $ 0.7 $ e a de acertar português é $ 0.8 $. Queremos saber qual a probabilidade de você acertar pelo menos uma das duas.
Aqui, o evento $ A $ é “acertar pelo menos uma das duas matérias”. Podemos dividir o espaço amostral em dois cenários:
  • $ B_1 $: Você estuda mais matemática.
  • $ B_2 $: Você estuda mais português.
Supondo que você tem $ P(B_1) = 0.5 $ e $ P(B_2) = 0.5 $.

Passo 4

Aplicando o Teorema da Probabilidade Total, temos:
P(A) = P(A mid B1) cdot P(B1) + P(A mid B2) cdot P(B2)
Vamos calcular cada parte:
  • Quando $ B_1 $ acontece (estuda mais matemática):
    • A probabilidade de acertar pelo menos uma é $ P(A \mid B_1) = P(acertar matemática) + P(acertar português) - P(acertar ambos) $.
    • Supondo que os acertos sejam independentes: $ 0.7 + 0.8 - (0.7 \times 0.8) = 0.7 + 0.8 - 0.56 = 0.94 $.
  • Quando $ B_2 $ acontece (estuda mais português):
    • Similarmente: $ P(A \mid B_2) = 0.7 + 0.8 - 0.56 = 0.94 $.

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula:
P(A) = 0.94 times 0.5 + 0.94 times 0.5 = 0.47 + 0.47 = 0.94

Resposta

Portanto, usando o Teorema da Probabilidade Total, a probabilidade de você acertar pelo menos uma das duas matérias é 94%.

Exercícios relacionados