Suponha que
tem f.d.p dada por
Encontre a função geradora de momentos
de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a função geradora de momentos (FGM) da variável aleatória $ X $, cuja função densidade de probabilidade (f.d.p.) está definida da seguinte forma:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a FGM e como calcular integrais envolvendo funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a função geradora de momentos. A FGM de uma variável aleatória $ X $ é definida por:
Onde $ E $ representa a esperança matemática. Basicamente, a FGM gera todos os momentos (como média, variância, etc.) de $ X $ através dos seus derivados.
Passo 3
Agora, vamos substituir a definição da FGM na integral. Com a f.d.p. dada, temos:
Mas, como $ f(x) = 0 $ para $ x < 0 $, a integral simplifica para:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, precisamos que o expoente seja negativo para que a integral convirja. Ou seja, $ t - 2 < 0 $ ou $ t < 2 $.
Considerando isso, a integral de $ e^{k x} $ de 0 a $ \infty $ é:
No nosso caso, $ k = t - 2 $, então:
Passo 6
Multiplicando pela constante 2 que estava fora da integral:
Resposta
A função geradora de momentos de $ X $ é: