Suponha que X tem f.d.p dada por
f(x)=cc 0, & x<0 2 e^-2 x, & x>0
Encontre a função geradora de momentos MX(t) de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a função geradora de momentos (FGM) da variável aleatória $ X $, cuja função densidade de probabilidade (f.d.p.) está definida da seguinte forma:
X
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a FGM e como calcular integrais envolvendo funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função geradora de momentos. A FGM de uma variável aleatória $ X $ é definida por:
X
Onde $ E $ representa a esperança matemática. Basicamente, a FGM gera todos os momentos (como média, variância, etc.) de $ X $ através dos seus derivados.

Passo 3

Agora, vamos substituir a definição da FGM na integral. Com a f.d.p. dada, temos:
MX(t) = integral-infty^infty e^t x f(x) , dx
Mas, como $ f(x) = 0 $ para $ x < 0 $, a integral simplifica para:
f(x) = 0

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
e^t x cdot e^-2x = e^(t - 2)x
Então, a integral fica:
MX(t) = 2 integral0^infty e^(t - 2)x , dx

Passo 5

Para resolver essa integral, precisamos que o expoente seja negativo para que a integral convirja. Ou seja, $ t - 2 < 0 $ ou $ t < 2 $.
Considerando isso, a integral de $ e^{k x} $ de 0 a $ \infty $ é:
t - 2 < 0
No nosso caso, $ k = t - 2 $, então:
t < 2

Passo 6

Multiplicando pela constante 2 que estava fora da integral:
MX(t) = 2 cdot 12 - t = 22 - t, para t < 2

Resposta

A função geradora de momentos de $ X $ é:
X

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