Prove que
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a questão aqui. A gente precisa provar uma igualdade que envolve médias, desvios e produtos de termos relacionados. O conteúdo principal aqui é estatística, mais especificamente, medidas de tendência central e dispersão, além de álgebra para manipulação das expressões. Para resolver, a gente vai precisar entender como calcular médias (
e
), desvios padrão (
e
) e trabalhar com somatórios.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que cada termo representa:
-
é a média dos valores de . -
é a média dos valores de . -
é o desvio padrão de , calculado como . -
é o desvio padrão de , calculado de forma similar.
Essas definições vão nos ajudar a manipular a expressão que precisamos provar.
Passo 3
Vamos começar observando o lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
Aqui, estamos calculando a média do produto dos termos padronizados de
e
.
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, podemos reescrever o produto dentro da soma:
Como
e
são constantes em relação a
, podemos tirá-las da soma:
Passo 5
Agora, vamos analisar o numerador dessa fração:
Esse termo é conhecido como covariância entre
e
, multiplicada por
.
Passo 6
Vamos lembrar que a covariância é dada por:
Portanto, podemos escrever:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão que tínhamos:
Essa é justamente a fórmula do coeficiente de correlação de Pearson, que também pode ser expressa de outra forma.
Passo 8
Agora, vamos olhar o lado direito da igualdade que queremos provar:
Vamos simplificar esse denominador. Primeiro, notamos que:
E de forma similar:
Passo 9
Substituindo essas expressões no denominador, temos:
Passo 10
Agora, substituímos de volta na expressão completa:
Passo 11
Observamos que ambos os lados da igualdade que queremos provar são iguais a
, que é o coeficiente de correlação de Pearson.
Resposta
Portanto, provamos que: