Prove que
1n sumi(xi-barxD(x))(yi-baryD(y))=sum xi yi-n barx baryraiz(sum xi^2-n barx^2)(sum yi^2-n bary^2)

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a questão aqui. A gente precisa provar uma igualdade que envolve médias, desvios e produtos de termos relacionados. O conteúdo principal aqui é estatística, mais especificamente, medidas de tendência central e dispersão, além de álgebra para manipulação das expressões. Para resolver, a gente vai precisar entender como calcular médias ( barx e bary), desvios padrão ( D(x) e D(y)) e trabalhar com somatórios.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que cada termo representa:
  • barx é a média dos valores de x.
  • bary é a média dos valores de y.
  • D(x) é o desvio padrão de x, calculado como raiz1nsum (xi - barx)^2.
  • D(y) é o desvio padrão de y, calculado de forma similar.
Essas definições vão nos ajudar a manipular a expressão que precisamos provar.

Passo 3

Vamos começar observando o lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
1n sumi(xi-barxD(x))(yi-baryD(y))
Aqui, estamos calculando a média do produto dos termos padronizados de x e y.

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, podemos reescrever o produto dentro da soma:
1n sumi (xi - barx)(yi - bary)D(x)D(y)
Como D(x) e D(y) são constantes em relação a i, podemos tirá-las da soma:
1n D(x)D(y) sumi (xi - barx)(yi - bary)

Passo 5

Agora, vamos analisar o numerador dessa fração:
sumi (xi - barx)(yi - bary)
Esse termo é conhecido como covariância entre x e y, multiplicada por n.

Passo 6

Vamos lembrar que a covariância é dada por:
Cov(x,y) = 1n sumi (xi - barx)(yi - bary)
Portanto, podemos escrever:
sumi (xi - barx)(yi - bary) = n cdot Cov(x,y)

Passo 7

Substituindo de volta na expressão que tínhamos:
1n D(x)D(y) cdot n cdot Cov(x,y) = Cov(x,y)D(x)D(y)
Essa é justamente a fórmula do coeficiente de correlação de Pearson, que também pode ser expressa de outra forma.

Passo 8

Agora, vamos olhar o lado direito da igualdade que queremos provar:
sum xi yi-n barx baryraiz(sum xi^2-n barx^2)(sum yi^2-n bary^2)
Vamos simplificar esse denominador. Primeiro, notamos que:
sum xi^2 - n barx^2 = n D(x)^2
E de forma similar:
sum yi^2 - n bary^2 = n D(y)^2

Passo 9

Substituindo essas expressões no denominador, temos:
raiz(n D(x)^2)(n D(y)^2) = raizn^2 D(x)^2 D(y)^2 = n D(x) D(y)

Passo 10

Agora, substituímos de volta na expressão completa:
sum xi yi-n barx baryn D(x) D(y) = Cov(x,y)D(x) D(y)

Passo 11

Observamos que ambos os lados da igualdade que queremos provar são iguais a Cov(x,y)D(x) D(y), que é o coeficiente de correlação de Pearson.

Resposta

Portanto, provamos que:
1n sumi(xi-barxD(x))(yi-baryD(y))=sum xi yi-n barx baryraiz(sum xi^2-n barx^2)(sum yi^2-n bary^2)

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