A equação da circunferência que tem um dos diâmetros com extremidades nos pontos A(–1, 3) e B(3, –5) é dada por:
a) (x + 2)² + (y – 4)² = 20
b) (x – 2)² + (y + 4)² = 80
c) (x – 1)² + (y + 1)² = 80
d) (x + 1)² + (y – 1)² = 20
e) (x – 1)² + (y + 1)² = 20

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a equação da circunferência! O enunciado nos dá dois pontos que são as extremidades de um diâmetro da circunferência: A(-1, 3) e B(3, -5). Para achar a equação da circunferência, precisamos descobrir o centro e o raio dela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da circunferência. Como A e B são as extremidades de um diâmetro, o centro é o ponto médio entre A e B. A fórmula do ponto médio entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
(x1, y1)
Aplicando isso aos pontos A(-1, 3) e B(3, -5):
(x2, y2)
Então, o centro da circunferência é o ponto (1, -1).

Passo 3

Agora, vamos calcular o raio da circunferência. Sabemos que o diâmetro é a distância entre A e B, então o raio será a metade dessa distância. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
(x1, y1)
Calculando a distância entre A(-1, 3) e B(3, -5):
(x2, y2)
Então, o diâmetro é $ \sqrt{80} $, e o raio será:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Mas para a equação da circunferência, precisamos do raio ao quadrado ($ r^2 $):
d = raiz(3 - (-1))^2 + (-5 - 3)^2 = raiz(4)^2 + (-8)^2 = raiz16 + 64 = raiz80

Passo 4

Com o centro $ (1, -1) $ e o raio ao quadrado $ 20 $, podemos escrever a equação da circunferência na forma:
(1, -1)
Substituindo os valores:
20

Resposta

A alternativa correta é a e) $ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 20 $.

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