A equação da circunferência que tem um dos diâmetros com extremidades nos pontos A(–1, 3) e B(3, –5) é dada por:
a) (x + 2)² + (y – 4)² = 20
b) (x – 2)² + (y + 4)² = 80
c) (x – 1)² + (y + 1)² = 80
d) (x + 1)² + (y – 1)² = 20
e) (x – 1)² + (y + 1)² = 20
a) (x + 2)² + (y – 4)² = 20
b) (x – 2)² + (y + 4)² = 80
c) (x – 1)² + (y + 1)² = 80
d) (x + 1)² + (y – 1)² = 20
e) (x – 1)² + (y + 1)² = 20
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a equação da circunferência! O enunciado nos dá dois pontos que são as extremidades de um diâmetro da circunferência: A(-1, 3) e B(3, -5). Para achar a equação da circunferência, precisamos descobrir o centro e o raio dela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da circunferência. Como A e B são as extremidades de um diâmetro, o centro é o ponto médio entre A e B. A fórmula do ponto médio entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
Aplicando isso aos pontos A(-1, 3) e B(3, -5):
Então, o centro da circunferência é o ponto (1, -1).
Passo 3
Agora, vamos calcular o raio da circunferência. Sabemos que o diâmetro é a distância entre A e B, então o raio será a metade dessa distância. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
Calculando a distância entre A(-1, 3) e B(3, -5):
Então, o diâmetro é $ \sqrt{80} $, e o raio será:
Mas para a equação da circunferência, precisamos do raio ao quadrado ($ r^2 $):
Passo 4
Com o centro $ (1, -1) $ e o raio ao quadrado $ 20 $, podemos escrever a equação da circunferência na forma:
Substituindo os valores:
Resposta
A alternativa correta é a e) $ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 20 $.