Equação da Continuidade. Considere o TTR:
A lei da conservação de massa nos diz que
. Faça
no TTR
nesse caso), utilize o Teorema da Divergência e (a) mostre que
O Teorema da Localização nos diz que se a integral de uma função contínua é sempre nula, então essa função é nula. Com isso, podemos concluir que
Essa é a Equação da Continuidade, que nos dá a conservação de massa para pequenas partículas de fluido. (b) Mostre que a equação (1) pode ser reescrita como
em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é sobre a Equação da Continuidade, que faz parte da mecânica dos fluidos. Basicamente, a equação garante que a massa de um fluido seja conservada quando ele se move. Para resolver esse problema, vamos precisar entender o Teorema da Divergência e como aplicar a lei da conservação de massa. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, a lei da conservação de massa nos diz que a variação da massa de um sistema fechado ao longo do tempo é zero. Matemáticamente, isso é expresso como:
No enunciado, precisamos usar $ B = m $ no TTR (Teorema da Transportação de Reynolds) com $ b = 1 $. Isso simplifica nossa equação inicial.
Passo 3
Aplicando $ B = m $ e $ b = 1 $ na expressão do TTR, temos:
Como
pela conservação de massa, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de volume do divergente de um campo vetorial com a integral de superfície desse campo. Aplicando o teorema à segunda integral da equação acima, temos:
Juntando as integrais, obtemos:
Passo 5
Segundo o Teorema da Localização (ou Teorema Fundamental do Cálculo para integrais múltiplas), se a integral de uma função contínua sobre todo o volume é zero, então a função em si deve ser zero em cada ponto desse volume. Portanto, concluímos que:
Essa é a Equação da Continuidade, que expressa a conservação de massa para fluidos contínuos.
Passo 6
Agora, na parte (b) do exercício, precisamos reescrever a equação da continuidade usando o material derivative ($ \frac{D}{Dt} $), que representa a taxa de variação de uma quantidade para uma partícula de fluido enquanto ela se move.
Sabemos que:
Vamos substituir $ \frac{\partial \rho}{\partial t} $ na equação da continuidade:
Substituindo na equação original:
Expandindo $ \vec{\nabla} \cdot (\rho \vec{V}) $:
Substituindo de volta:
Os termos $ -\vec{V} \cdot \vec{\nabla} \rho $ e $ +\vec{V} \cdot \vec{\nabla} \rho $ se cancelam, restando:
Resposta
Prontinho! A Equação da Continuidade reescrita usando o derivado material fica:
Isso significa que a taxa de variação da densidade para uma partícula de fluido mais a densidade vezes a divergência da velocidade é igual a zero, garantindo a conservação de massa no fluido.