Equação da Continuidade. Considere o TTR:
d Bs i s td t & =partialpartial t integralV C(rho b) d(V) & +integralS C rho b(V cdot n) d A
A lei da conservação de massa nos diz que d m sist / d t=0. Faça B=m no TTR (b=1 nesse caso), utilize o Teorema da Divergência e (a) mostre que
integralV C[partial rhopartial t+nabla cdot(rho V)] d V=0
O Teorema da Localização nos diz que se a integral de uma função contínua é sempre nula, então essa função é nula. Com isso, podemos concluir que
partial rhopartial t+nabla cdot(rho V)=0
Essa é a Equação da Continuidade, que nos dá a conservação de massa para pequenas partículas de fluido. (b) Mostre que a equação (1) pode ser reescrita como
D rhoD t+rho(nabla cdot V)=0
em que
D rhoD t=partial rhopartial t+V cdot nabla rho

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é sobre a Equação da Continuidade, que faz parte da mecânica dos fluidos. Basicamente, a equação garante que a massa de um fluido seja conservada quando ele se move. Para resolver esse problema, vamos precisar entender o Teorema da Divergência e como aplicar a lei da conservação de massa. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, a lei da conservação de massa nos diz que a variação da massa de um sistema fechado ao longo do tempo é zero. Matemáticamente, isso é expresso como:
d msistd t = 0
No enunciado, precisamos usar $ B = m $ no TTR (Teorema da Transportação de Reynolds) com $ b = 1 $. Isso simplifica nossa equação inicial.

Passo 3

Aplicando $ B = m $ e $ b = 1 $ na expressão do TTR, temos:
B = m
Como b = 1 pela conservação de massa, a equação fica:
d msistd t = partialpartial t integralVC rho , dV + integralSC rho (V cdot n) , dA

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de volume do divergente de um campo vetorial com a integral de superfície desse campo. Aplicando o teorema à segunda integral da equação acima, temos:
integralVC partial rhopartial t , dV + integralVC nabla cdot (rho V) , dV = 0
Juntando as integrais, obtemos:
integralVC ( partial rhopartial t + nabla cdot (rho V) ) , dV = 0

Passo 5

Segundo o Teorema da Localização (ou Teorema Fundamental do Cálculo para integrais múltiplas), se a integral de uma função contínua sobre todo o volume é zero, então a função em si deve ser zero em cada ponto desse volume. Portanto, concluímos que:
partial rhopartial t + nabla cdot (rho V) = 0
Essa é a Equação da Continuidade, que expressa a conservação de massa para fluidos contínuos.

Passo 6

Agora, na parte (b) do exercício, precisamos reescrever a equação da continuidade usando o material derivative ($ \frac{D}{Dt} $), que representa a taxa de variação de uma quantidade para uma partícula de fluido enquanto ela se move.
Sabemos que:
DDt
Vamos substituir $ \frac{\partial \rho}{\partial t} $ na equação da continuidade:
D rhoD t = partial rhopartial t + V cdot nabla rho
Substituindo na equação original:
partial rhopartial t
Expandindo $ \vec{\nabla} \cdot (\rho \vec{V}) $:
partial rhopartial t = D rhoD t - V cdot nabla rho
Substituindo de volta:
( D rhoD t - V cdot nabla rho ) + nabla cdot (rho V) = 0
Os termos $ -\vec{V} \cdot \vec{\nabla} \rho $ e $ +\vec{V} \cdot \vec{\nabla} \rho $ se cancelam, restando:
nabla cdot (rho V)

Resposta

Prontinho! A Equação da Continuidade reescrita usando o derivado material fica:
D rhoD t + rho (nabla cdot V) = 0
Isso significa que a taxa de variação da densidade para uma partícula de fluido mais a densidade vezes a divergência da velocidade é igual a zero, garantindo a conservação de massa no fluido.

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