Dois cilindros concêntricos horizontais possuem um comprimento de 8,23m. O diâmetro externo do cilindro interno é 1,26 cm. O diâmetro interno do cilindro externo é 2,79 cm. Uma solução aquosa é bombeada entre os dois cilindros. A densidade dessa solução é 1286,3 kg / m^3 e a sua viscosidade é 0,0565 kg / m s. Determinar a vazão volumétrica do fluido quando a queda de pressão è 3,716 times 10^4 N / m^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de dinâmica dos fluidos juntos! A gente tem dois cilindros concêntricos e precisamos descobrir a vazão volumétrica da solução aquosa que está sendo bombeada entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de escoamento laminar entre cilindros, especificamente a fórmula para vazão entre cilindros concêntricos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os raios dos cilindros. O diâmetro do cilindro interno é 1,26 cm e o diâmetro interno do cilindro externo é 2,79 cm. O raio é metade do diâmetro, então:
r1 = 1,26, cm2 = 0,63, cm = 0,0063, m
r2 = 2,79, cm2 = 1,395, cm = 0,01395, m

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para a vazão volumétrica $ Q $ de um fluido viscoso entre dois cilindros concêntricos:
Q
Onde:
  • $ \Delta P $ é a queda de pressão
  • $ \mu $ é a viscosidade do fluido
  • $ L $ é o comprimento dos cilindros
  • $ r_1 $ e $ r_2 $ são os raios interno e externo
Essa fórmula leva em conta a resistência que o fluido enfrenta ao passar entre os cilindros devido à viscosidade.

Passo 4

Vamos agora substituir os valores conhecidos na fórmula. Mas antes, vamos garantir que todas as unidades estejam no sistema internacional (SI):
  • $ \Delta P = 3,716 \times 10^4, N/m^2 $
  • $ \mu = 0,0565, kg/(m\cdots) $
  • $ L = 8,23, m $
  • $ r_1 = 0,0063, m $
  • $ r_2 = 0,01395, m $

Passo 5

Agora, vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos $ r_1^2 $ e $ r_2^2 $:
r1^2
r2^2
Calculamos agora $ r_2^2 - r_1^2 $:
r1^2 = (0,0063, m)^2 = 3,969 times 10^-5, m^2
Substituindo todos os valores na fórmula de $ Q $:
r2^2 = (0,01395, m)^2 = 1,955, times 10^-4, m^2
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
r2^2 - r1^2
Denominador:
r2^2 - r1^2 = 1,955 times 10^-4, m^2 - 3,969 times 10^-5, m^2 = 1,558 times 10^-4, m^2
Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
Q

Resposta

A vazão volumétrica do fluido é aproximadamente $ 3,12 \times 10^{-1}, m^3/s $.

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