Dois cilindros concêntricos horizontais possuem um comprimento de 8,23m. O diâmetro externo do cilindro interno é 1,26 cm. O diâmetro interno do cilindro externo é
. Uma solução aquosa é bombeada entre os dois cilindros. A densidade dessa solução é
e a sua viscosidade é
. Determinar a vazão volumétrica do fluido quando a queda de pressão è
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de dinâmica dos fluidos juntos! A gente tem dois cilindros concêntricos e precisamos descobrir a vazão volumétrica da solução aquosa que está sendo bombeada entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de escoamento laminar entre cilindros, especificamente a fórmula para vazão entre cilindros concêntricos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os raios dos cilindros. O diâmetro do cilindro interno é 1,26 cm e o diâmetro interno do cilindro externo é 2,79 cm. O raio é metade do diâmetro, então:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula para a vazão volumétrica $ Q $ de um fluido viscoso entre dois cilindros concêntricos:
Onde:
- $ \Delta P $ é a queda de pressão
- $ \mu $ é a viscosidade do fluido
- $ L $ é o comprimento dos cilindros
- $ r_1 $ e $ r_2 $ são os raios interno e externo
Essa fórmula leva em conta a resistência que o fluido enfrenta ao passar entre os cilindros devido à viscosidade.
Passo 4
Vamos agora substituir os valores conhecidos na fórmula. Mas antes, vamos garantir que todas as unidades estejam no sistema internacional (SI):
- $ \Delta P = 3,716 \times 10^4, N/m^2 $
- $ \mu = 0,0565, kg/(m\cdots) $
- $ L = 8,23, m $
- $ r_1 = 0,0063, m $
- $ r_2 = 0,01395, m $
Passo 5
Agora, vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos $ r_1^2 $ e $ r_2^2 $:
Calculamos agora $ r_2^2 - r_1^2 $:
Substituindo todos os valores na fórmula de $ Q $:
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
Denominador:
Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
Resposta
A vazão volumétrica do fluido é aproximadamente $ 3,12 \times 10^{-1}, m^3/s $.