Água está colocada entre duas placas paralelas, planas infinitas distantes 3 cm uma da outra. Se as placas se movem em sentidos opostos com velocidades de
e 0,21 m/s, deduzir a expressão do perfil de velocidade e calcular a velocidade média da água.
Fazer um diagrama do sistema que você está analisando.
Dados:
- Densidade da água:
;
- Viscosidade da água: 1 cP.
Fazer um diagrama do sistema que você está analisando.
Dados:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a água está entre duas placas planas, gigantes (pensar que não têm fim mesmo) e estão separadas por 3 cm. As placas estão se movendo em direções opostas, com velocidades de 0,18 m/s e 0,21 m/s. Nosso objetivo aqui é descobrir como a velocidade da água varia entre as duas placas (isso é o perfil de velocidade) e também calcular a velocidade média da água. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica de fluidos, especificamente o fluxo de Couette, que lida com fluidos entre placas em movimento. Precisaremos das propriedades da água: densidade de 1 g/cm³ e viscosidade de 1 cP.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama do sistema. Imagine duas placas paralelas, uma em cima e outra embaixo. A distância entre elas é de 3 cm. A placa de cima está se movendo para a direita com velocidade de 0,18 m/s, e a placa de baixo está se movendo para a esquerda com velocidade de 0,21 m/s. A água está confinada entre essas duas placas.
Passo 3
Agora, vamos estabelecer um sistema de coordenadas. Vamos dizer que o eixo y vai do fundo para a frente, perpendicular às placas. A posição y=0 está na placa de baixo e y=3 cm na placa de cima. Queremos encontrar a expressão da velocidade da água em função de y, ou seja, v(y).
Passo 4
Assumindo que o fluxo é laminar e estacionário, sem pressão externa, a equação do equilíbrio de forças para o fluido se reduz à equação de equilíbrio de viscosidade. Isso nos dá uma relação linear entre a velocidade e a posição y. A equação geral para o perfil de velocidade entre duas placas em movimento oposto é:
onde:
- $ V_1 $ é a velocidade da placa de baixo,
- $ V_2 $ é a velocidade da placa de cima,
- $ h $ é a distância entre as placas.
Passo 5
Vamos substituir os valores na equação. Aqui, $ V_1 = 0,21 , m/s $ (para a placa de baixo que está se movendo para a esquerda, consideramos positivo) e $ V_2 = 0,18 , m/s $ (para a placa de cima que está se movendo para a direita). A distância $ h = 0,03 , m $.
Substituindo:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Então, a expressão do perfil de velocidade é:
Passo 7
Agora, vamos calcular a velocidade média da água entre as placas. A velocidade média ($ \overline{v} $) é dada pela média aritmética das velocidades das duas placas, já que a distribuição é linear.
Resposta
A expressão do perfil de velocidade é $ v(y) = 0,21 - y $ e a velocidade média da água entre as placas é de 0,195 m/s.