Água está colocada entre duas placas paralelas, planas infinitas distantes 3 cm uma da outra. Se as placas se movem em sentidos opostos com velocidades de 0,18 m / s e 0,21 m/s, deduzir a expressão do perfil de velocidade e calcular a velocidade média da água.
Fazer um diagrama do sistema que você está analisando.
Dados:
  • Densidade da água: 1 g / cm^3;
  • Viscosidade da água: 1 cP.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a água está entre duas placas planas, gigantes (pensar que não têm fim mesmo) e estão separadas por 3 cm. As placas estão se movendo em direções opostas, com velocidades de 0,18 m/s e 0,21 m/s. Nosso objetivo aqui é descobrir como a velocidade da água varia entre as duas placas (isso é o perfil de velocidade) e também calcular a velocidade média da água. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica de fluidos, especificamente o fluxo de Couette, que lida com fluidos entre placas em movimento. Precisaremos das propriedades da água: densidade de 1 g/cm³ e viscosidade de 1 cP.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama do sistema. Imagine duas placas paralelas, uma em cima e outra embaixo. A distância entre elas é de 3 cm. A placa de cima está se movendo para a direita com velocidade de 0,18 m/s, e a placa de baixo está se movendo para a esquerda com velocidade de 0,21 m/s. A água está confinada entre essas duas placas.

Passo 3

Agora, vamos estabelecer um sistema de coordenadas. Vamos dizer que o eixo y vai do fundo para a frente, perpendicular às placas. A posição y=0 está na placa de baixo e y=3 cm na placa de cima. Queremos encontrar a expressão da velocidade da água em função de y, ou seja, v(y).

Passo 4

Assumindo que o fluxo é laminar e estacionário, sem pressão externa, a equação do equilíbrio de forças para o fluido se reduz à equação de equilíbrio de viscosidade. Isso nos dá uma relação linear entre a velocidade e a posição y. A equação geral para o perfil de velocidade entre duas placas em movimento oposto é:
v(y) = V1 ( h - yh ) + V2 ( yh )
onde:
  • $ V_1 $ é a velocidade da placa de baixo,
  • $ V_2 $ é a velocidade da placa de cima,
  • $ h $ é a distância entre as placas.

Passo 5

Vamos substituir os valores na equação. Aqui, $ V_1 = 0,21 , m/s $ (para a placa de baixo que está se movendo para a esquerda, consideramos positivo) e $ V_2 = 0,18 , m/s $ (para a placa de cima que está se movendo para a direita). A distância $ h = 0,03 , m $.
Substituindo:
V1 = 0,21 , m/s

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
v(y) = 0,21 (1 - y0,03) + 0,18 ( y0,03 )
v(y) = 0,21 - 0,21 ( y0,03 ) + 0,18 ( y0,03 )
v(y) = 0,21 + ( -0,21 + 0,18 ) ( y0,03 )
v(y) = 0,21 - 0,03 ( y0,03 )
v(y) = 0,21 - y
Então, a expressão do perfil de velocidade é:
v(y) = 0,21 - y

Passo 7

Agora, vamos calcular a velocidade média da água entre as placas. A velocidade média ($ \overline{v} $) é dada pela média aritmética das velocidades das duas placas, já que a distribuição é linear.
v
v = V1 + V22

Resposta

A expressão do perfil de velocidade é $ v(y) = 0,21 - y $ e a velocidade média da água entre as placas é de 0,195 m/s.

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