Na equação dimensionalmente homogênea x=a t^2-b t^3, em que x tem dimensão de comprimento e t tem dimensão de tempo, quais são as dimensões de a e b ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . Aqui, representa uma distância (comprimento) e é o tempo. Nosso objetivo é descobrir quais são as dimensões de e . Para isso, vamos usar análise dimensional, que ajuda a garantir que todos os termos de uma equação fazem sentido em termos de unidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões que cada termo da equação deve ter para que ela seja dimensionalmente homogênea, ou seja, que todos os termos tenham as mesmas dimensões.
Sabemos que:
  • tem dimensão de comprimento, representada por .
  • tem dimensão de tempo, representada por .
Então, cada termo na equação e também precisa ter dimensão de comprimento .

Passo 3

Vamos calcular as dimensões de [a] times [t]^2 = L .
Temos que [a] times T^2 = L deve ter dimensão de [a] = LT^2 = L T^-2 :
Substituindo as dimensões:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :
Então, a dimensão de é .

Passo 4

Agora, vamos calcular as dimensões de [b] times [t]^3 = L .
Temos que [b] times T^3 = L também deve ter dimensão de [b] = LT^3 = L T^-3 :
Substituindo as dimensões:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :
Então, a dimensão de é .

Resposta

As dimensões das constantes são:

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