Um pequeno pacote é lançado de uma altura do solo com vetor velocidade inicial de módulo e que faz um ângulo de com a horizontal por sobre um muro afastado de uma distância do ponto de lançamento e de altura . Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade . Trate o pacote como uma partícula. Utilize o sistema de eixos dado na figura.
Determine o vetor velocidade do pacote no instante imediatamente antes de atingir o solo.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede e identificar o que vamos precisar para resolver. Temos um pacote lançado de uma altura de com uma velocidade inicial de que faz um ângulo de com a horizontal. O pacote passa por cima de um muro que está a de distância e tem altura . Queremos descobrir qual é a velocidade do pacote no instante que ele toca o chão. Para isso, vamos usar conceitos de movimento projetado e as equações do movimento uniformemente variado.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade inicial nas componentes horizontal ( ) e vertical ( ). Isso é importante porque no movimento projetado, a velocidade horizontal permanece constante (já que não tem resistência do ar) e a velocidade vertical é influenciada pela gravidade.
Usando trigonometria:

Passo 3

Agora, vamos determinar quanto tempo o pacote leva para atingir o solo. Para isso, usamos a equação da posição vertical:
Queremos encontrar o tempo quando (ou seja, quando o pacote toca o chão):
Isso é uma equação quadrática do tipo:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Agora, calculando as raízes:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:

Passo 4

Com o tempo de voo encontrado, vamos agora calcular as componentes da velocidade no instante em que o pacote toca o chão.
A componente horizontal da velocidade, , permanece constante:
Já a componente vertical da velocidade, , é afetada pela gravidade:
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo no instante que toca o chão.

Resposta

A velocidade do pacote imediatamente antes de atingir o solo é:
Ou, em forma de vetor:

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