Um pequeno pacote é lançado de uma altura h=1,80 m do solo com vetor velocidade inicial vo de módulo 5 m / s e que faz um ângulo de 60^circ com a horizontal por sobre um muro afastado de uma distância d=1,00 m do ponto de lançamento e de altura H=2,00 m. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade g=10 m / s^2. Trate o pacote como uma partícula. Utilize o sistema de eixos dado na figura.
Determine o vetor velocidade do pacote no instante imediatamente antes de atingir o solo.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede e identificar o que vamos precisar para resolver. Temos um pacote lançado de uma altura de h = 1,80 m com uma velocidade inicial de 5 m/s que faz um ângulo de 60^circ com a horizontal. O pacote passa por cima de um muro que está a 1,00 m de distância e tem altura 2,00 m. Queremos descobrir qual é a velocidade do pacote no instante que ele toca o chão. Para isso, vamos usar conceitos de movimento projetado e as equações do movimento uniformemente variado.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade inicial nas componentes horizontal ( v0x) e vertical ( v0y). Isso é importante porque no movimento projetado, a velocidade horizontal permanece constante (já que não tem resistência do ar) e a velocidade vertical é influenciada pela gravidade.
Usando trigonometria:
v0x = v0 cdot cos(theta) = 5 cdot cos(60^circ) = 5 cdot 0,5 = 2,5 m/s
v0y = v0 cdot sin(theta) = 5 cdot sin(60^circ) approx 5 cdot 0,8660 approx 4,33 m/s

Passo 3

Agora, vamos determinar quanto tempo o pacote leva para atingir o solo. Para isso, usamos a equação da posição vertical:
y(t) = h + v0y cdot t - 12 g t^2
Queremos encontrar o tempo t quando y(t) = 0 (ou seja, quando o pacote toca o chão):
0 = 1,80 + 4,33 cdot t - 5 t^2
Isso é uma equação quadrática do tipo:
5 t^2 - 4,33 t - 1,80 = 0
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
t = 4,33 pm raiz(4,33)^2 + 4 cdot 5 cdot 1,802 cdot 5
Calculando o discriminante:
De
Agora, calculando as raízes:
t = 4,33 pm raiz54,748910 approx 4,33 pm 7,39510
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
t approx 4,33 + 7,39510 = 11,72510 approx 1,1725 s

Passo 4

Com o tempo de voo encontrado, vamos agora calcular as componentes da velocidade no instante em que o pacote toca o chão.
A componente horizontal da velocidade, vx, permanece constante:
vx = v0x = 2,5 m/s
Já a componente vertical da velocidade, vy, é afetada pela gravidade:
vy = v0y - g t = 4,33 - 10 cdot 1,1725 approx 4,33 - 11,725 approx -7,395 m/s
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo no instante que toca o chão.

Resposta

A velocidade do pacote imediatamente antes de atingir o solo é:
v = (2,5 , m/s) i - (7,395 , m/s) j
Ou, em forma de vetor:
v approx (2,5, -7,395) , m/s

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