Um pequeno pacote é lançado de uma altura do solo com vetor velocidade inicial de módulo e que faz um ângulo de com a horizontal por sobre um muro afastado de uma distância do ponto de lançamento e de altura . Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade . Trate o pacote como uma partícula. Utilize o sistema de eixos dado na figura.
Determine o vetor velocidade do pacote no instante imediatamente antes de atingir o solo.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede e identificar o que vamos precisar para resolver. Temos um pacote lançado de uma altura de com uma velocidade inicial de que faz um ângulo de com a horizontal. O pacote passa por cima de um muro que está a de distância e tem altura . Queremos descobrir qual é a velocidade do pacote no instante que ele toca o chão. Para isso, vamos usar conceitos de movimento projetado e as equações do movimento uniformemente variado.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a velocidade inicial nas componentes horizontal () e vertical (). Isso é importante porque no movimento projetado, a velocidade horizontal permanece constante (já que não tem resistência do ar) e a velocidade vertical é influenciada pela gravidade.
Usando trigonometria:
Passo 3
Agora, vamos determinar quanto tempo o pacote leva para atingir o solo. Para isso, usamos a equação da posição vertical:
Queremos encontrar o tempo quando (ou seja, quando o pacote toca o chão):
Isso é uma equação quadrática do tipo:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Agora, calculando as raízes:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
Passo 4
Com o tempo de voo encontrado, vamos agora calcular as componentes da velocidade no instante em que o pacote toca o chão.
A componente horizontal da velocidade, , permanece constante:
Já a componente vertical da velocidade, , é afetada pela gravidade:
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo no instante que toca o chão.
Resposta
A velocidade do pacote imediatamente antes de atingir o solo é: