A equação de onda para uma onda é dada por: partial^2 y(x, t)partial x^2-125.10^4 partial^2 y(x, t)partial t^2=0. a) Qual a velocidade de propagação dessa onda? b) Escreva a função de onda para uma onda de frequência 750 Hz e amplitude de 3,00 cm que obedece a equação acima. Resp: a) v=500 m / s; b) y(x, t)=0,03 cos [9,425 x-4712 t] (em metros).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação de onda que descreve como uma onda se propaga no espaço e no tempo. O conteúdo principal envolve equações diferenciais parciais e ondas. Para resolver essa questão, a gente vai precisar entender como identificar a velocidade de propagação a partir da equação e, depois, formular a função de onda usando a frequência e a amplitude dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação de onda fornecida:
partial^2 y(x, t)partial x^2 - 125 times 10^4 partial^2 y(x, t)partial t^2 = 0
Essa é a forma geral da equação de onda:
partial^2 ypartial x^2 = 1v^2 partial^2 ypartial t^2
onde é a velocidade de propagação da onda.

Passo 3

Comparando as duas equações, vemos que:
1v^2 = 125 times 10^4
Para encontrar v^2 = 25 times 10^4 v = raiz25 times 10^4 v = 5 times 10^2 v = 500 , m/s , vamos inverter ambos os lados e tirar a raiz quadrada:

Passo 4

Agora que sabemos a velocidade, vamos para a parte (b). A função de onda geral para uma onda harmônica é:
y(x, t) = A cos(kx - omega t)
onde:
  • é a amplitude,
  • é o número de onda,
  • é a frequência angular.

Passo 5

Primeiro, vamos identificar A = 0,03 , m . A amplitude dada é , que em metros fica:

Passo 6

A frequência omega = 2pi f = 2pi times 750 approx 4712 , rad/s é 750 Hz. A frequência angular é relacionada à frequência por:

Passo 7

Para encontrar o número de onda k = omegav = 4712500 approx 9,424 , rad/m , usamos a relação entre , e :

Passo 8

Agora, montamos a função de onda substituindo os valores de y(x, t) = 0,03 cos(9,425x - 4712t) , e :

Resposta

a) ;
b) (em metros).

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