A equação do plano pode ser determinada a partir de um ponto e de um vetor normal ao plano. Se conhecemos três pontos pertencentes a um plano podemos traçar uma estratégia para determinar a equação do plano a partir desses três pontos. Use os conhecimentos adquiridos na disciplina de geometria analítica para determinar a equação do plano que contém os pontos A (2,5,4), B (1,2,3) e C (2,7,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa por três pontos específicos: A (2,5,4), B (1,2,3) e C (2,7,5). Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produtos vetoriais para determinar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso encontrando os vetores que ligam o ponto A aos pontos B e C. Esses vetores serão:
AB = B - A = (1-2, 2-5, 3-4) = (-1, -3, -1)
AC = C - A = (2-2, 7-5, 5-4) = (0, 2, 1)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor que seja normal ao plano, ou seja, perpendicular a ambos os vetores AB e AC. Para isso, usamos o produto vetorial desses dois vetores:
n = AB times AC = i & j & k -1 & -3 & -1 0 & 2 & 1
Calculando o determinante:
n = i((-3)(1) - (-1)(2)) - j((-1)(1) - (-1)(0)) + k((-1)(2) - (-3)(0)) = i(-3 + 2) - j(-1 - 0) + k(-2 - 0)
n = -i + j - 2k = (-1, 1, -2)
Então, o vetor normal ao plano é n = (-1, 1, -2).

Passo 4

Com o vetor normal n = (-1, 1, -2) e um ponto qualquer do plano, vamos usar o ponto A (2,5,4) para montar a equação do plano. A equação geral de um plano é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é um ponto no plano. Substituindo os valores:
-1(x - 2) + 1(y - 5) - 2(z - 4) = 0

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
-1 cdot x + 2 + y - 5 - 2z + 8 = 0
Agrupando os termos semelhantes:
- x + y - 2z + (2 - 5 + 8) = 0
- x + y - 2z + 5 = 0
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para deixar a equação mais simples:
x - y + 2z - 5 = 0

Resposta

A equação do plano que contém os pontos A (2,5,4), B (1,2,3) e C (2,7,5) é:
x - y + 2z - 5 = 0

Exercícios relacionados