Esboce a imagem das seguintes curvas
F(t) = (t, t, 1/t), t ≥ 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos a imagem da curva definida por onde . Isso envolve entender curvas parametrizadas no espaço 3D. Para resolver, vamos analisar como as coordenadas , e se comportam conforme varia.

Passo 2

Primeiro, observamos que e , então . Isso significa que qualquer ponto na curva terá as coordenadas e iguais. Então, a curva está restrita ao plano onde .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a coordenada . Temos . Conforme aumenta, diminui e se aproxima de 0. Quando se aproxima de 0, cresce sem limites (vai para o infinito).

Passo 4

Vamos juntar essas informações. A curva está no plano e à medida que varia de 0 a , e aumentam linearmente, enquanto diminui exponencialmente. Isso cria uma espécie de hélice ou espiral que desce no espaço à medida que avança no plano .

Passo 5

Para visualizar melhor, podemos plotar alguns pontos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
    Isso mostra como a curva se estende no espaço.

Resposta

A imagem da curva para é uma linha que se move ao longo do plano no espaço 3D, começando de indo ao infinito quando se aproxima de 0 e descendo em direção a conforme aumenta, formando uma trajetória semelhante a uma hélice descendo.

Exercícios relacionados

As funções f(x)=x^n e g(x) = raiz(n)(x) têm o domínio comum x > 0, para todo n in N. Estabeleça um intervalo tal que
g(x) ≥ f(x)
e calcule a área entre os dois gráficos destas funções.
Verifique que integral-T^T cos (n pi xT) d x=0=integral-T^T sen(n pi xT) d x, para todo n in Z, n neq 0.
Determine o domínio
F(t) = (2, 1/t, raiz(2 - t^2), arctan(t)).
Equações de Bernoulli são equações do tipo
y' + p(x) y = q(x) y^n, n em Z
Note que se n não pertence a {0, 1}, a equação acima não é linear.
a. Mostre que se n != 0, 1, a substituição v = y^(1-n) leva a uma equação linear para v. Obtenha a equação para v.
b. Usando o item anterior, resolva a equação
y' + 1/x * y = x * y^2