As equações a seguir fornecem a posição x(t) de uma partícula em quatro casos (em todas as equações, x está em metros, t em segundos e t>0 ): (1) x=3 t-2; (2) x=-4 t^2-2; (3) x=2 / t^2; (4) x=-2. (a) Em que caso(s) a velocidade v da partícula é constante?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve o movimento de uma partícula. A gente precisa descobrir em quais dos quatro casos a velocidade da partícula é constante. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a relação entre posição e velocidade. Precisamos saber como calcular a velocidade a partir da posição e identificar se ela é constante ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matematicamente, isso significa que a velocidade v(t) = dx(t)dt é a derivada da posição em relação ao tempo :
Se essa derivada for uma constante (não depende do tempo), então a velocidade é constante.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade para cada um dos quatro casos:
Caso 1: v(t) = dx(t)dt = 3
Derivando em relação a v(t) = dx(t)dt = -8t :
x(t) = 2t^-2
A velocidade é constante igual a 3 m/s.
Caso 2: v(t) = dx(t)dt = -4t^-3 = -4t^3
Derivando em relação a v(t) = dx(t)dt = 0 :
Aqui, a velocidade depende de , então não é constante.
Caso 3:
Primeiro, reescrevemos para facilitar a derivação:
Derivando em relação a :
A velocidade depende de , portanto não é constante.
Caso 4:
Derivando em relação a :
A velocidade é constante igual a 0 m/s.

Resposta

A velocidade da partícula é constante nos casos (1) e (4).

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