Uma equipa de investigação julga que
de uma certa população sofre de diabetes. Para testar esta teoria irão selecionar aleatoriamente 200 indivíduos dessa população.
(a) Assumindo que a fração da população que sofre de diabetes é realmente
, quais os valores da média e desvio padrão da variável aleatória
representativa da proporção amostral relativa às pessoas que sofrem de diabetes em amostras de tamanho 200?
(b) Qual a probabilidade aproximada de que
difira da proporção populacional mais do que 0.01 ?
© Depois de serem selecionados os 200 indivíduos, a equipa identificou 36 sofrendo de diabetes. Qual o valor de
para esta amostra específica?
(a) Assumindo que a fração da população que sofre de diabetes é realmente
(b) Qual a probabilidade aproximada de que
© Depois de serem selecionados os 200 indivíduos, a equipa identificou 36 sofrendo de diabetes. Qual o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício sobre proporções em estatística, envolvendo uma equipe que acredita que 20% da população tem diabetes. Eles vão selecionar 200 pessoas ao acaso dessa população. Para resolver isso, a gente vai precisar entender conceitos de proporção amostral, média, desvio padrão e probabilidade usando a distribuição normal. Vamos passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Encontrar a média e o desvio padrão da variável aleatória
Primeiro, precisamos entender que
representa a proporção amostral de pessoas com diabetes na amostra de 200 indivíduos.
A média da proporção amostral,
, é igual à proporção da população,
. Ou seja:
Agora, para o desvio padrão, usamos a fórmula:
Onde:
Então:
Passo 3
Parte (b): Calcular a probabilidade de que
difira da proporção populacional mais do que 0,01
Aqui, queremos encontrar
.
Primeiro, vamos padronizar a diferença usando a média e o desvio padrão que calculamos:
Queremos:
Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar essa probabilidade. Sabemos que:
Então, a probabilidade é aproximadamente 72,4%.
Passo 4
Parte ©: Calcular o valor de
para uma amostra específica onde 36 indivíduos têm diabetes
A proporção amostral
é calculada dividindo o número de sucessos (pessoas com diabetes) pelo tamanho total da amostra.
Então:
Resposta
(a) A média de
é 0,20 e o desvio padrão é aproximadamente 0,0283.
(b) A probabilidade de que
difira da proporção populacional mais do que 0,01 é de aproximadamente 72,4%.
© Para a amostra específica, o valor de
é 0,18.