Uma equipa de investigação julga que 20 % de uma certa população sofre de diabetes. Para testar esta teoria irão selecionar aleatoriamente 200 indivíduos dessa população.
(a) Assumindo que a fração da população que sofre de diabetes é realmente 20 %, quais os valores da média e desvio padrão da variável aleatória P representativa da proporção amostral relativa às pessoas que sofrem de diabetes em amostras de tamanho 200?
(b) Qual a probabilidade aproximada de que P difira da proporção populacional mais do que 0.01 ?
© Depois de serem selecionados os 200 indivíduos, a equipa identificou 36 sofrendo de diabetes. Qual o valor de P para esta amostra específica?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício sobre proporções em estatística, envolvendo uma equipe que acredita que 20% da população tem diabetes. Eles vão selecionar 200 pessoas ao acaso dessa população. Para resolver isso, a gente vai precisar entender conceitos de proporção amostral, média, desvio padrão e probabilidade usando a distribuição normal. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Encontrar a média e o desvio padrão da variável aleatória P
Primeiro, precisamos entender que P representa a proporção amostral de pessoas com diabetes na amostra de 200 indivíduos.
A média da proporção amostral, E(P), é igual à proporção da população, p. Ou seja:
E(P) = p = 0,20
Agora, para o desvio padrão, usamos a fórmula:
sigmaP = raizp(1 - p)n
Onde:
  • p = 0,20
  • n = 200
Então:
sigmaP = raiz0,20 times 0,80200 = raiz0,16200 = raiz0,0008 approx 0,0283

Passo 3

Parte (b): Calcular a probabilidade de que P difira da proporção populacional mais do que 0,01
Aqui, queremos encontrar P(|P - p| > 0,01).
Primeiro, vamos padronizar a diferença usando a média e o desvio padrão que calculamos:
Z = P - psigmaP
Queremos:
P(|P - p| > 0,01) = P(|Z| > 0,010,0283) = P(|Z| > 0,353)
Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar essa probabilidade. Sabemos que:
P(|Z| > 0,353) = 2 times P(Z > 0,353) approx 2 times 0,362 = 0,724
Então, a probabilidade é aproximadamente 72,4%.

Passo 4

Parte ©: Calcular o valor de P para uma amostra específica onde 36 indivíduos têm diabetes
A proporção amostral P é calculada dividindo o número de sucessos (pessoas com diabetes) pelo tamanho total da amostra.
Então:
P = 36200 = 0,18

Resposta

(a) A média de P é 0,20 e o desvio padrão é aproximadamente 0,0283.
(b) A probabilidade de que P difira da proporção populacional mais do que 0,01 é de aproximadamente 72,4%.
© Para a amostra específica, o valor de P é 0,18.

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