O diâmetro médio das laranjas de determinada espécie é 7.8 cm e o respetivo desvio padrão é 1.6 cm . Vai ser selecionada uma amostra aleatória de 100 laranjas dessa espécie. Qual a probabilidade aproximada de que a média dos diâmetros das laranjas na amostra
(a) seja inferior ao diâmetro médio das laranjas dessa espécie?
(b) difira da média populacional mais do que 5 mm ?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema de estatística onde o diâmetro médio das laranjas de uma certa espécie é de 7,8 cm, e o desvio padrão é de 1,6 cm. Vamos pegar uma amostra aleatória de 100 laranjas dessa espécie. Precisamos descobrir duas coisas:
a) A probabilidade de que a média dos diâmetros nessa amostra seja menor que a média populacional (ou seja, menos de 7,8 cm).
b) A probabilidade de que a média dos diâmetros na amostra difira da média populacional em mais de 5 mm (que é 0,5 cm).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição amostral da média e o Teorema Central do Limite, que nos ajuda a entender como a média das amostras se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição amostral da média. Quando a gente pega várias amostras de tamanho n de uma população com média μ e desvio padrão σ, a média dessas amostras também tem uma distribuição normal (ou quase normal se a população não for normal, pelo Teorema Central do Limite) com média igual a μ e desvio padrão igual a σ dividido pela raiz quadrada de n.
Matematicamente, isso é representado por:
Passo 3
Vamos calcular o desvio padrão da média da amostra, também conhecido como erro padrão.
Agora, para a parte (a), queremos saber a probabilidade de que a média da amostra seja menor que a média populacional, ou seja, P( X < 7,8 cm).
Como a distribuição da média da amostra é simétrica em torno de μ, a probabilidade de ser menor que μ é exatamente 50%.
Então,
P(X < mu) = 0,5 ou 50%
Passo 5
Para a parte (b), queremos a probabilidade de que a média da amostra difira da média populacional em mais de 5 mm (0,5 cm). Isso significa:
P(|X - mu| > 0,5 , cm)
Isso pode ser dividido em duas partes:
X - mu > 0,5
X - mu < -0,5
Como a distribuição é simétrica, podemos calcular uma dessas e multiplicar por 2.
Passo 6
Vamos calcular o valor-z para 0,5 cm. O valor-z é dado por:
z = DiferençaErro padrão = 0,50,16 = 3,125 çã
Passo 7
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que o z seja maior que 3,125. Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos que:
P(Z > 3,125) approx 0,000893
Isso é a probabilidade para um lado. Como temos dois lados (maior que 0,5 cm e menor que -0,5 cm), multiplicamos por 2:
P(|X - mu| > 0,5) = 2 times 0,000893 approx 0,001785 ou 0,1785%