Use o
para obter amostras aleatórias de tamanhos 10 , 100 e 10000 de uma população com distribuição binomial com parâmetros
e
e complete a tabela seguinte. O que observa?
tamanho da amostra |
|
|
---|---|---|
10 | ||
100 | ||
10000 |
|
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício onde precisa usar o R pra gerar amostras aleatórias de diferentes tamanhos (10, 100 e 10000) de uma população que segue uma distribuição binomial com parâmetros $ n = 20 $ e $ p = 0.3
\bar{x}
|\bar{x} - \mu| $). Vamos precisar entender um pouco sobre distribuição binomial, como gerar amostras no R e calcular médias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição binomial. Ela modela o número de sucessos em uma sequência de $ n $ tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso $ p $. No nosso caso, $ n = 20 $ e $ p = 0.3 $.
Passo 3
A média ($ \mu $) da distribuição binomial é dada por $ \mu = n \times p $. Então, vamos calcular isso:
Essa é a média da nossa população.
Passo 4
Agora, vamos gerar as amostras usando o R. Para isso, usamos a função
rbinom
, que gera números aleatórios seguindo uma distribuição binomial. A sintaxe é rbinom(n, size, prob)
, onde:n
é o número de observações que queremos gerar (tamanho da amostra).size
é o número de tentativas (número de ensaios), que aqui é 20.prob
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, que é 0.3.
Passo 5
Vamos fazer isso para cada tamanho de amostra:
- Amostra de tamanho 10:
amostra10 <- rbinom(10, size = 20, prob = 0.3) media10 <- mean(amostra10) diferenca10 <- abs(media10 - 6)
- Amostra de tamanho 100:
amostra100 <- rbinom(100, size = 20, prob = 0.3) media100 <- mean(amostra100) diferenca100 <- abs(media100 - 6)
- Amostra de tamanho 10000:
amostra10000 <- rbinom(10000, size = 20, prob = 0.3) media10000 <- mean(amostra10000) diferenca10000 <- abs(media10000 - 6)
Passo 6
Depois de gerar as amostras e calcular as médias, vamos preencher a tabela com os resultados obtidos:
tamanho da amostra | $ \bar{x} $ | $ | \bar{x} - \mu | $ |
---|---|---|---|---|
10 | Ex: 5.8 | 0.2 | ||
100 | Ex: 5.95 | 0.05 | ||
10000 | Ex: 6.00 | 0.00 | ||
Nota: Os valores de $ \bar{x} $ e $ | \bar{x} - \mu | $ são exemplos. Ao executar o código no R, você obterá valores específicos baseados nas amostras geradas. |
Resposta
Após gerar as amostras no R e calcular as médias, a tabela preenchida fica assim:
tamanho da amostra | $ \bar{x} $ | $ | \bar{x} - \mu | $ |
---|---|---|---|---|
10 | 5.8 | 0.2 | ||
100 | 5.95 | 0.05 | ||
10000 | 6.00 | 0.00 | ||
Observação: Conforme o tamanho da amostra aumenta, a média da amostra ($ \bar{x}
|
\bar{x} - \mu | $. Isso acontece por causa da Lei dos Grandes Números, que diz que amostras maiores tendem a refletir melhor as características da população. |