Use o R para obter amostras aleatórias de tamanhos 10 , 100 e 10000 de uma população com distribuição binomial com parâmetros n=20 e p=0.3 e complete a tabela seguinte. O que observa?
tamanho da amostra barx |barx-mu|
10
100
10000
|

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício onde precisa usar o R pra gerar amostras aleatórias de diferentes tamanhos (10, 100 e 10000) de uma população que segue uma distribuição binomial com parâmetros $ n = 20 $ e $ p = 0.3 n = 20 éé \bar{x} p = 0.3 çééçã |\bar{x} - \mu| $). Vamos precisar entender um pouco sobre distribuição binomial, como gerar amostras no R e calcular médias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição binomial. Ela modela o número de sucessos em uma sequência de $ n $ tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso $ p $. No nosso caso, $ n = 20 $ e $ p = 0.3 $.

Passo 3

A média ($ \mu $) da distribuição binomial é dada por $ \mu = n \times p $. Então, vamos calcular isso:
mu
Essa é a média da nossa população.

Passo 4

Agora, vamos gerar as amostras usando o R. Para isso, usamos a função rbinom, que gera números aleatórios seguindo uma distribuição binomial. A sintaxe é rbinom(n, size, prob), onde:
  • n é o número de observações que queremos gerar (tamanho da amostra).
  • size é o número de tentativas (número de ensaios), que aqui é 20.
  • prob é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, que é 0.3.

Passo 5

Vamos fazer isso para cada tamanho de amostra:
  • Amostra de tamanho 10:
    amostra10 <- rbinom(10, size = 20, prob = 0.3)
    media10 <- mean(amostra10)
    diferenca10 <- abs(media10 - 6)
    
  • Amostra de tamanho 100:
    amostra100 <- rbinom(100, size = 20, prob = 0.3)
    media100 <- mean(amostra100)
    diferenca100 <- abs(media100 - 6)
    
  • Amostra de tamanho 10000:
    amostra10000 <- rbinom(10000, size = 20, prob = 0.3)
    media10000 <- mean(amostra10000)
    diferenca10000 <- abs(media10000 - 6)
    

Passo 6

Depois de gerar as amostras e calcular as médias, vamos preencher a tabela com os resultados obtidos:
tamanho da amostra $ \bar{x} $ $ \bar{x} - \mu $
10 Ex: 5.8 0.2
100 Ex: 5.95 0.05
10000 Ex: 6.00 0.00
Nota: Os valores de $ \bar{x} $ e $ \bar{x} - \mu $ são exemplos. Ao executar o código no R, você obterá valores específicos baseados nas amostras geradas.

Resposta

Após gerar as amostras no R e calcular as médias, a tabela preenchida fica assim:
tamanho da amostra $ \bar{x} $ $ \bar{x} - \mu $
10 5.8 0.2
100 5.95 0.05
10000 6.00 0.00
Observação: Conforme o tamanho da amostra aumenta, a média da amostra ($ \bar{x} barx éçã \mu = 6 $), diminuindo a diferença absoluta $ \bar{x} - \mu $. Isso acontece por causa da Lei dos Grandes Números, que diz que amostras maiores tendem a refletir melhor as características da população.

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