Esbocar a gráfica da curva
passo a passe.
Passo 1
Beleza, vamos esboçar o gráfico da função
. Essa é uma função racional, ou seja, o quociente de dois polinômios. Para fazer o esboço, vamos precisar analisar alguns pontos importantes como interceptos, assíntotas e o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as interceptações com os eixos. Para isso:
-
Intercepto com o eixo y: acontece quando
. Substituindona função: Então, o intercepto com o eixo y é. -
Interceptos com o eixo x: acontecem quando
. Para, o numerador precisa ser zero: Já sabemos queé um intercepto, confirmando .
Passo 3
Agora, vamos identificar as assíntotas da função:
-
Assíntota vertical: ocorre onde o denominador é zero (pois a função tende ao infinito).Resolvendo
temos . Então, há uma assíntota vertical em . -
Assíntota horizontal ou oblíqua: analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito. Fazendo a divisão dos polinômios:Quandose aproxima de , o termo tende a zero. Portanto, a assíntota é oblíqua: .
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função próximo às assíntotas e nos intervalos definidos por elas.
-
Para
: - Conforme
aumenta, tende a seguir a assíntota oblíqua . - Perto de
pela direita, tende a .
- Conforme
-
Para
: - Conforme
diminui, também segue a assíntota oblíqua. - Perto de
pela esquerda, tende a .
- Conforme
Passo 5
Vamos calcular alguns pontos adicionais para ter uma ideia melhor do gráfico.
Por exemplo, para
:
Então, o ponto
.
Para
:
Então, o ponto
.
Resposta
Com todas essas informações, conseguimos esboçar o gráfico da função
. O gráfico tem uma assíntota vertical em
, uma assíntota oblíqua
, intercepta os eixos no ponto
, passa por
e
, e apresenta comportamento de crescimento conforme
se afasta de 1. Assim, o esboço reflete essas características principais da função.
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