Esbocar a gráfica da curva passo a passe.

Passo 1

Beleza, vamos esboçar o gráfico da função . Essa é uma função racional, ou seja, o quociente de dois polinômios. Para fazer o esboço, vamos precisar analisar alguns pontos importantes como interceptos, assíntotas e o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as interceptações com os eixos. Para isso:
  • Intercepto com o eixo y: acontece quando .
    Substituindo na função:
    Então, o intercepto com o eixo y é .
  • Interceptos com o eixo x: acontecem quando .
    Para , o numerador precisa ser zero:
    Já sabemos que é um intercepto, confirmando .

Passo 3

Agora, vamos identificar as assíntotas da função:
  • Assíntota vertical: ocorre onde o denominador é zero (pois a função tende ao infinito).
    Resolvendo temos . Então, há uma assíntota vertical em .
  • Assíntota horizontal ou oblíqua: analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito.
    Fazendo a divisão dos polinômios:
    Quando se aproxima de , o termo tende a zero. Portanto, a assíntota é oblíqua: .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função próximo às assíntotas e nos intervalos definidos por elas.
  • Para :
    • Conforme aumenta, tende a seguir a assíntota oblíqua .
    • Perto de pela direita, tende a .
  • Para :
    • Conforme diminui, também segue a assíntota oblíqua.
    • Perto de pela esquerda, tende a .

Passo 5

Vamos calcular alguns pontos adicionais para ter uma ideia melhor do gráfico.
Por exemplo, para :
Então, o ponto .
Para :
Então, o ponto .

Resposta

Com todas essas informações, conseguimos esboçar o gráfico da função . O gráfico tem uma assíntota vertical em , uma assíntota oblíqua , intercepta os eixos no ponto , passa por e , e apresenta comportamento de crescimento conforme se afasta de 1. Assim, o esboço reflete essas características principais da função.

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