Determine o cone de volume máxima goue pole sex incxito em uma esferca de taio 3.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o cone de volume máximo que cabe dentro de uma esfera com raio 3. Isso envolve um pouco de geometria e cálculo, mas vou te explicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como um cone se encaixa dentro de uma esfera. Imagine a esfera com raio
. O cone vai ter uma altura
e uma base com raio
. Como o cone está inscrito na esfera, esses dois valores estão relacionados.
Passo 3
Vamos usar o teorema de Pitágoras para relacionar
e
. A altura do cone vai do centro da esfera até a base, então temos:
Substituindo
:
Simplificando isso:
Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos expressar o volume
do cone. A fórmula do volume é:
Substituindo
que encontramos:
Para encontrar o máximo desse volume, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Simplificando:
Ignorando a solução
, temos:
Passo 5
Com
, podemos encontrar
:
Finalmente, o volume máximo é:
Resposta
O cone de volume máximo inscrito em uma esfera de raio 3 tem altura
, raio da base
e volume máximo igual a
.