Determine o cone de volume máxima goue pole sex incxito em uma esferca de taio 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o cone de volume máximo que cabe dentro de uma esfera com raio 3. Isso envolve um pouco de geometria e cálculo, mas vou te explicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como um cone se encaixa dentro de uma esfera. Imagine a esfera com raio . O cone vai ter uma altura e uma base com raio . Como o cone está inscrito na esfera, esses dois valores estão relacionados.

Passo 3

Vamos usar o teorema de Pitágoras para relacionar e . A altura do cone vai do centro da esfera até a base, então temos:
Substituindo :
Simplificando isso:
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos expressar o volume do cone. A fórmula do volume é:
Substituindo que encontramos:
Para encontrar o máximo desse volume, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Simplificando:
Ignorando a solução , temos:

Passo 5

Com , podemos encontrar :
Finalmente, o volume máximo é:

Resposta

O cone de volume máximo inscrito em uma esfera de raio 3 tem altura , raio da base e volume máximo igual a .

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