Determire as ponta extremcs, concavidade e pontas de inglexā́ de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar os pontos extremos, a concavidade e os pontos de inflexão da função:
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas primeira e segunda. Isso vai nos ajudar a encontrar onde a função atinge máximos ou mínimos (pontos extremos), entender a curva da função (concavidade) e onde ela muda de curvatura (pontos de inflexão).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar o trabalho com as derivadas. Sabemos que:
Aplicando isso à nossa função:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de , que nos ajudará a encontrar os pontos extremos. A derivada de é , então aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Para encontrar os pontos extremos, precisamos resolver :
O numerador deve ser zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Para confirmar se é um máximo ou mínimo, vamos usar a segunda derivada. Primeiro, encontramos :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 6

Agora, avaliamos no ponto crítico :
Como , isso indica que é um mínimo local.

Passo 7

Agora, vamos analisar a concavidade da função. A concavidade depende do sinal da segunda derivada:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Observando :
O denominador é sempre positivo. Então, o sinal de depende apenas do numerador :
Resolvendo :
Então, temos pontos de mudança na concavidade em e .

Passo 8

Para saber a concavidade em cada intervalo, escolhemos valores de teste:
  1. Para , digamos :
    ô
  2. Para , digamos :
    ô
  3. Para , digamos :
    ô

Passo 9

Agora, vamos identificar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade muda. Conforme analisado, isso ocorre em e .

Passo 10

Por fim, vamos resumir nossos achados:
  • Ponto extremo: mínimo em .
  • Concavidade:
    • Côncava para baixo em e .
    • Côncava para cima em .
  • Pontos de inflexão: e .

Resposta

A função possui:
  • Um mínimo local em .
  • É côncava para baixo quando e , e côncava para cima quando .
  • Pontos de inflexão em e .

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