Determire as ponta extremcs, concavidade e pontas de inglexā́ de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar os pontos extremos, a concavidade e os pontos de inflexão da função:
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas primeira e segunda. Isso vai nos ajudar a encontrar onde a função atinge máximos ou mínimos (pontos extremos), entender a curva da função (concavidade) e onde ela muda de curvatura (pontos de inflexão).
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar o trabalho com as derivadas. Sabemos que:
Aplicando isso à nossa função:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada de
, que nos ajudará a encontrar os pontos extremos. A derivada de
é
, então aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Para encontrar os pontos extremos, precisamos resolver
:
O numerador deve ser zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Para confirmar se é um máximo ou mínimo, vamos usar a segunda derivada. Primeiro, encontramos
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 6
Agora, avaliamos
no ponto crítico
:
Como
, isso indica que
é um mínimo local.
Passo 7
Agora, vamos analisar a concavidade da função. A concavidade depende do sinal da segunda derivada:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Observando
:
O denominador
é sempre positivo. Então, o sinal de
depende apenas do numerador
:
Resolvendo
:
Então, temos pontos de mudança na concavidade em
e
.
Passo 8
Para saber a concavidade em cada intervalo, escolhemos valores de teste:
-
Para
, digamos : -
Para
, digamos : -
Para
, digamos :
Passo 9
Agora, vamos identificar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade muda. Conforme analisado, isso ocorre em
e
.
Passo 10
Por fim, vamos resumir nossos achados:
- Ponto extremo: mínimo em
. - Concavidade:
- Côncava para baixo em
e . - Côncava para cima em
.
- Côncava para baixo em
- Pontos de inflexão:
e .
Resposta
A função
possui:
- Um mínimo local em
. - É côncava para baixo quando
e , e côncava para cima quando . - Pontos de inflexão em
e .
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