Esboçar o gráfico, dar o domínio e o perlodo da função real f(x)=tg(x-pi4).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função , além de encontrar o domínio e o período dessa função. Para isso, vamos usar os conhecimentos de funções trigonométricas, especialmente a função tangente. Precisamos entender como a função tangente se comporta e como as transformações dentro dela afetam o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. A função tangente, , não está definida onde o cosseno de é zero, ou seja, onde , onde é qualquer inteiro. Então, para a nossa função , precisamos evitar que .

Passo 3

Resolvendo a equação x = pi2 + pi4 + kpi = 3pi4 + kpi para , temos:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto , onde é um inteiro.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o período da função. O período de uma função é o intervalo após o qual o gráfico se repete. A função básica tem período , o que significa que seu gráfico se repete a cada unidades. Como na nossa função temos , que é apenas uma translação horizontal, o período permanece o mesmo, ou seja, .

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos considerar que uma translação horizontal não altera o formato da função tangente, apenas desloca o gráfico para a direita ou para a esquerda. No caso de , estamos deslocando o gráfico unidades para a direita. Além disso, sabemos que a função tangente tem assíntotas verticais onde não está definida, que no nosso caso são em .

Passo 6

Vamos esboçar o gráfico considerando todos esses pontos:
  1. Assíntotas Verticais: Linhas tracejadas em .
  2. Ponto de Início: A função cruza o eixo quando , ou seja, quando , então .
  3. Comportamento da Função: Entre duas assíntotas, a função começa em , passa por zero e vai para .

Resposta

A função tem domínio em todos os reais exceto , onde é inteiro. O período da função é . O gráfico da função é uma tangente deslocada unidades para a direita, com assíntotas verticais em e cruzando o eixo em .

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