Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando t nas equações, achar as equações na forma cartesiana: { x = 3t + 2, y = 1 / (2t - 1) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para esboçar os gráficos das curvas paramétricas dadas e, eliminar o parâmetro t para achar as equações na forma cartesiana. Isso tudo faz parte de Geometria Analítica, e vamos precisar usar algumas manipulações algébricas para resolver.

Passo 2

Primeiro, temos as equações paramétricas:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro t para conseguir uma relação direta entre x e y.

Passo 3

Vamos começar isolando t na primeira equação. A equação pode ser rearranjada para:
Agora que temos t em termos de x, podemos substituir essa expressão na segunda equação para eliminar t.

Passo 4

Substituindo na equação de y, temos:
Vamos simplificar o denominador dessa fração.

Passo 5

Primeiro, multiplicamos o 2 pelo termo dentro dos parênteses:
Agora, subtraímos 1:
Então, a equação de y fica:

Resposta

A equação cartesiana da curva é:

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