Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando
nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações paramétricas que descrevem uma curva:
Nosso objetivo aqui é eliminar o parâmetro
e encontrar uma relação direta entre
e
, ou seja, uma equação na forma cartesiana. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e conhecer como manipular expressões com potências.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a segunda equação:
. Isso é bom porque conseguimos isolar
facilmente. Para fazer isso, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Lembre-se que a raiz quadrada pode ser positiva ou negativa, mas vamos considerar apenas a positiva para simplificar.
Passo 3
Agora que temos
em termos de
, vamos substituir esse valor na equação de
:
Vamos simplificar as potências:
Passo 4
Para deixar a equação mais limpa, podemos fatorar
de ambos os termos:
Isso nos dá a relação direta entre
e
sem o parâmetro
.
Passo 5
Finalmente, temos a equação cartesiana que relaciona
e
:
Essa é a forma que procurávamos!
Resposta
A equação cartesiana é
.