Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando t nas equações, achar as equações na forma cartesiana: {x = t^5 - 4t^3, y = t^2}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações paramétricas que descrevem uma curva:
Nosso objetivo aqui é eliminar o parâmetro e encontrar uma relação direta entre e , ou seja, uma equação na forma cartesiana. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e conhecer como manipular expressões com potências.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a segunda equação: . Isso é bom porque conseguimos isolar facilmente. Para fazer isso, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Lembre-se que a raiz quadrada pode ser positiva ou negativa, mas vamos considerar apenas a positiva para simplificar.

Passo 3

Agora que temos em termos de , vamos substituir esse valor na equação de :
Vamos simplificar as potências:

Passo 4

Para deixar a equação mais limpa, podemos fatorar de ambos os termos:
Isso nos dá a relação direta entre e sem o parâmetro .

Passo 5

Finalmente, temos a equação cartesiana que relaciona e :
Essa é a forma que procurávamos!

Resposta

A equação cartesiana é .

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