Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando t nas equações, achar as equações na forma cartesiana: x = 3t / (1 + t^3) ; y = 3t^2 / (1 + t^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações paramétricas que descrevem as curvas de e em termos de um parâmetro . Nosso objetivo é eliminar o dessas equações para chegar a uma relação direta entre e , ou seja, uma equação cartesiana. Para isso, vamos precisar manipular as equações e usar um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, olhemos as equações que temos:
Nosso objetivo é eliminar o dessas duas equações para encontrar uma relação apenas entre e .

Passo 3

Uma estratégia é expressar em termos de ou a partir de uma das equações e substituir na outra. Vamos começar resolvendo a primeira equação para .
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo o :
Rearranjando os termos:

Passo 4

Essa equação ainda está um pouco complicada para resolver diretamente para . Vamos tentar outra abordagem. Observando as equações originais, vemos que tanto quanto têm o denominador . Podemos dividir por para simplificar:
Então, descobrimos que:

Passo 5

Agora que temos em termos de e , podemos substituir essa expressão na segunda equação para eliminar :
Substituindo :

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, calculamos e :
Multiplicando numerador e denominador por para eliminar as frações:

Passo 7

Agora, multiplicamos ambos os lados por :
Distribuindo o :

Passo 8

Finalmente, reorganizamos a equação para chegar na forma cartesiana:

Resposta

A equação cartesiana correspondente é:

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