Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando
nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações paramétricas que descrevem as curvas de
e
em termos de um parâmetro
. Nosso objetivo é eliminar o
dessas equações para chegar a uma relação direta entre
e
, ou seja, uma equação cartesiana. Para isso, vamos precisar manipular as equações e usar um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, olhemos as equações que temos:
Nosso objetivo é eliminar o
dessas duas equações para encontrar uma relação apenas entre
e
.
Passo 3
Uma estratégia é expressar
em termos de
ou
a partir de uma das equações e substituir na outra. Vamos começar resolvendo a primeira equação para
.
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo o
:
Rearranjando os termos:
Passo 4
Essa equação ainda está um pouco complicada para resolver diretamente para
. Vamos tentar outra abordagem. Observando as equações originais, vemos que tanto
quanto
têm o denominador
. Podemos dividir
por
para simplificar:
Então, descobrimos que:
Passo 5
Agora que temos
em termos de
e
, podemos substituir essa expressão na segunda equação para eliminar
:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, calculamos
e
:
Multiplicando numerador e denominador por
para eliminar as frações:
Passo 7
Agora, multiplicamos ambos os lados por
:
Distribuindo o
:
Passo 8
Finalmente, reorganizamos a equação para chegar na forma cartesiana:
Resposta
A equação cartesiana correspondente é: