Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando t nas equações, achar as equações na forma cartesiana: {x = 2 cotg(θ), y = 2 sen²(θ)}

Passo 1

Vamos entender o enunciado da questão. Precisamos esboçar os gráficos das curvas paramétricas dadas e, para isso, vamos eliminar o parâmetro theta das equações:
Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de trigonometria e manipulação algébrica para encontrar uma relação entre x e y sem depender de theta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a cotangente pode ser expressa em termos de seno e cosseno:
Então, podemos reescrever a equação de x como:

Passo 3

Agora, vamos manipular a equação de x para expressar cos(theta) em termos de x e :

Passo 4

Substituindo cos(theta) na identidade trigonométrica fundamental:
Temos:
Simplificando:

Passo 5

Fatorando :
Isolando :

Passo 6

Agora, lembramos que . Substituindo :

Resposta

A equação cartesiana correspondente é:

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